沈阳网站建设联系方式,尉氏县金星网架公司,西安网站建设产品,网站 推送文章目录 abstract直线参数方程从运动轨迹的角度从普通方程转换导参数方程向量法 参数方程间的转换从第3型转化为第2型方程组例 abstract
平面直线的参数方程的3种表示形式直线参数方程间的转换
直线参数方程
以下从不同角度推导直线参数方程分别记为第1,2,3形式参数方程
从… 文章目录 abstract直线参数方程从运动轨迹的角度从普通方程转换导参数方程向量法 参数方程间的转换从第3型转化为第2型方程组例 abstract
平面直线的参数方程的3种表示形式直线参数方程间的转换
直线参数方程
以下从不同角度推导直线参数方程分别记为第1,2,3形式参数方程
从运动轨迹的角度
直线可以看作是质点匀速运动的曲线设质点从 M 0 ( x 0 , y 0 ) M_0(x_0,y_0) M0(x0,y0)出发,沿着与 x x x轴成 α \alpha α角的方向作匀速直线运动,其速录为 v 0 v_0 v0,把速度再 x , y x,y x,y轴上分解,大小分别为 v x v 0 cos α v_xv_0\cos\alpha vxv0cosα, v y v 0 sin α v_yv_0\sin{\alpha} vyv0sinα设 M ( x , y ) M(x,y) M(x,y)为 t t t时刻质点所在位置,则如下参数方程组(1) ( t ⩾ 0 ) (t\geqslant{0}) (t⩾0) x x 0 v x t x 0 t v 0 cos α xx_0v_x{t}x_0tv_0\cos\alpha xx0vxtx0tv0cosα; y y 0 v y t y 0 t v 0 sin α yy_0v_y{t}y_0tv_0\sin\alpha yy0vyty0tv0sinα; 若不考虑物理意义,取参数 t ∈ ( − ∞ , ∞ ) t\in(-\infin,\infin) t∈(−∞,∞),方程组(1)就是直线的一种参数方程,参数为 t t t
从普通方程转换导参数方程
设直线的点斜式方程为 y − y 0 k ( x − x 0 ) y-y_0k(x-x_0) y−y0k(x−x0) 其中 k tan α k\tan{\alpha} ktanα, α \alpha α为直线的倾斜角( α ∈ [ 0 , π ) \alpha\in[0,\pi) α∈[0,π));则 y − y 0 tan α ( x − x 0 ) y-y_0\tan{\alpha}(x-x_0) y−y0tanα(x−x0) sin α cos α ( x − x 0 ) \frac{\sin{\alpha}}{\cos\alpha}(x-x_0) cosαsinα(x−x0), ( α ≠ π 2 ) (\alpha\neq{\frac{\pi}{2}}) (α2π)即 x − x 0 cos α \frac{x-x_0}{\cos{\alpha}} cosαx−x0 y − y 0 sin α \frac{y-y_0}{\sin{\alpha}} sinαy−y0,令其比值为参数 t t t,即有 x − x 0 t cos α x-x_0t\cos\alpha x−x0tcosα, y − y 0 y-y_0 y−y0 t sin α t\sin\alpha tsinα这里的参数 t t t有明显的几何意义: ∣ t ∣ |t| ∣t∣表示直线上的任一点 M M M到定点 M 0 M_0 M0的距离 整理:得方程组(2)参数 t ∈ R t\in{\mathbb{R}} t∈R, x x 0 t cos α xx_0t\cos{\alpha} xx0tcosα; y y 0 t sin α yy_0t\sin\alpha yy0tsinα
向量法 设直线过点 M 0 ( x 0 , y 0 ) M_0(x_0,y_0) M0(x0,y0),且与平面向量 a ( l , m ) \bold{a}(l,m) a(l,m)平行 ( l , m ≠ 0 ) (l,m\neq{0}) (l,m0), 在直线上任取点 M ( x , y ) M(x,y) M(x,y),则向量 M 0 M → / / a \overrightarrow{M_0M}//\bold{a} M0M //a, M 0 M → \overrightarrow{M_0M} M0M ( x − x 0 , y − y 0 ) (x-x_0,y-y_0) (x−x0,y−y0) 两向量平行的充要条件是 x − x 0 l y − y 0 m \frac{x-x_0}{l}\frac{y-y_0}{m} lx−x0my−y0,记该比值式比值为 t t t, 整理得方程组(3) x x 0 l t xx_0lt xx0lt, y y 0 m t yy_0mt yy0mt,参数 t ∈ R t\in\mathbb{R} t∈R
参数方程间的转换
从第3型转化为第2型方程组 方法1: 设(3)转换的第2型方程组为 x x 0 u cos α xx_0u\cos\alpha xx0ucosα y y 0 u sin α yy_0u\sin\alpha yy0usinα 和(3)比较可知, u cos α l t u\cos\alphalt ucosαlt; u sin α m t u\sin\alphamt usinαmt,则 tan α m l \tan{\alpha}\frac{m}{l} tanαlm 只要求出 cos α \cos\alpha cosα, sin α \sin\alpha sinα关于 l , m l,m l,m的表示式即可: cos α \cos\alpha cosα ± l m 2 l 2 \pm{\frac{l}{\sqrt{m^2l^2}}} ±m2l2 l sin α ± m m 2 l 2 \sin\alpha\pm\frac{m}{\sqrt{m^2l^2}} sinα±m2l2 m 根据 α \alpha α的来取定两个式子的符号: cos α l m 2 l 2 \cos\alpha\frac{l}{\sqrt{m^2l^2}} cosαm2l2 l sin α m m 2 l 2 \sin\alpha\frac{m}{\sqrt{m^2l^2}} sinαm2l2 m 方法2: 由于2型方程中的 α \alpha α是直线的倾斜角,因此,根据直线某个同向方向向量 ( l , m ) (l,m) (l,m)可得 l 1 l_1 l1: cos α l m 2 l 2 \cos\alpha\frac{l}{\sqrt{m^2l^2}} cosαm2l2 l; sin α m m 2 l 2 \sin\alpha\frac{m}{\sqrt{m^2l^2}} sinαm2l2 m l 2 l_2 l2: cos α − l m 2 l 2 \cos\alpha-\frac{l}{\sqrt{m^2l^2}} cosα−m2l2 l; sin α − m m 2 l 2 \sin\alpha-\frac{m}{\sqrt{m^2l^2}} sinα−m2l2 m两组都可以:验证: l 1 l_1 l1: x x 0 t cos α xx_0t\cos{\alpha} xx0tcosα; y y 0 t sin α yy_0t\sin\alpha yy0tsinα l 2 l_2 l2: x x 0 − t cos α xx_0-t\cos{\alpha} xx0−tcosα; y y 0 − t sin α yy_0-t\sin\alpha yy0−tsinα当 t 1 t1 t1时 ( x 0 cos α , y 0 sin α ) (x_0\cos\alpha,y_0\sin\alpha) (x0cosα,y0sinα)和 t − 1 t-1 t−1时 ( x 0 − cos α , y 0 − sin α ) (x_0-\cos\alpha,y_0-\sin\alpha) (x0−cosα,y0−sinα)都同时在 l 1 , l 2 l_1,l_2 l1,l2上,说明 l 1 , l 2 l_1,l_2 l1,l2是同一条直线或者分别将 l 1 l_1 l1, l 2 l_2 l2化为普通方程,可得相同的直角坐标方程: y − y 0 x − x 0 tan α \frac{y-y_0}{x-x_0}\tan{\alpha} x−x0y−y0tanα
例 设直线 x 5 3 t x53t x53t; y 10 − 4 t y10-4t y10−4t;将其表示为第2形式参数方程 从第3型转化为第2型: cos α 3 3 2 4 2 \cos\alpha\frac{3}{\sqrt{3^24^2}} cosα3242 3 3 5 \frac{3}{5} 53; sin α \sin\alpha sinα − 4 3 2 4 2 \frac{-4}{\sqrt{3^24^2}} 3242 −4 − 4 5 -\frac{4}{5} −54另一组取值 cos α − 3 5 \cos\alpha-\frac{3}{5} cosα−53, sin α 4 5 \sin\alpha\frac{4}{5} sinα54也可以两组取值都有( tan α − 4 3 \tan\alpha-\frac{4}{3} tanα−34)所以 x 5 3 5 u x5\frac{3}{5}u x553u; y 10 − 4 5 u y10-\frac{4}{5}u y10−54u x 5 − 3 5 u x5-\frac{3}{5}u x5−53u; y 10 4 5 u y10\frac{4}{5}u y1054u
