手机网站一般宽度做多大的,成都网络公关公司,flash网站源码免费下载,东莞建站网站#x1f3c6;作者简介#xff0c;普修罗双战士#xff0c;一直追求不断学习和成长#xff0c;在技术的道路上持续探索和实践。 #x1f3c6;多年互联网行业从业经验#xff0c;历任核心研发工程师#xff0c;项目技术负责人。 #x1f389;欢迎 #x1f44d;点赞✍评论… 作者简介普修罗双战士一直追求不断学习和成长在技术的道路上持续探索和实践。 多年互联网行业从业经验历任核心研发工程师项目技术负责人。 欢迎 点赞✍评论⭐收藏 文章目录 人工智能(逻辑回归算法) 一、逻辑回归算法知识 01. 梯度下降法Gradient Descent 1.1 什么是梯度下降法 1.2 梯度下降法的具体步骤和算法公式 1.3 梯度下降法的算法公式实现 02. 牛顿法Newtons Method和拟牛顿法Quasi-Newton Methods 2.1 什么是牛顿法和拟牛顿法 2.2 牛顿法和拟牛顿法的具体步骤和算法公式 2.3 牛顿法和拟牛顿法的算法公式实现 03. 共轭梯度法Conjugate Gradient 3.1 什么是共轭梯度法 3.2 共轭梯度法的具体步骤和算法公式 3.3 共轭梯度法的算法公式实现 04. 改进的随机梯度下降法Improved Stochastic Gradient Descent 4.1 什么是改进的随机梯度下降法 05. Adagrad自适应梯度算法 5.1 什么是 Adagrad 5.2 RMSprop均方根传播的具体步骤和算法公式 5.3 RMSprop均方根传播的算法公式实现 06. RMSprop均方根传播 6.1 什么是RMSprop 6.2 Adam自适应矩估计的具体步骤和算法公式 6.3 Adam自适应矩估计的算法公式实现 07. Adam自适应矩估计 7.1 什么是 Adam 7.2 Adam的具体步骤和算法公式 7.3 Adam的算法公式实现 08. LBFGSLimited-memory Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno 8.1 什么是 LBFGS 8.2 LBFGSLimited-memory Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno的具体步骤和算法公式 8.3 LBFGSLimited-memory Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno的算法公式实现 09. Adamax 9.1 什么是 Adamax 9.2 Adamax的具体步骤和算法公式 9.3 Nadam的算法公式实现 10. Nadam 10.1 什么是**Nadam 10.2 Nadam的具体步骤和算法公式 10.3 Nadam的算法公式实现 人工智能(逻辑回归算法) 一、逻辑回归算法知识 01. 梯度下降法Gradient Descent 1.1 什么是梯度下降法
梯度下降法是最常用的优化算法之一。它通过迭代更新模型参数沿着损失函数梯度的反方向逐步进行参数调整。包括批量梯度下降Batch Gradient Descent、随机梯度下降Stochastic Gradient Descent和小批量梯度下降Mini-batch Gradient Descent等变种。 1.2 梯度下降法的具体步骤和算法公式
梯度下降法是一种常用的优化算法用于最小化一个函数的值。该算法通常用于机器学习中的模型训练过程例如逻辑回归、线性回归等。下面是梯度下降法的具体步骤和算法公式
算法输入学习率learning rate α \alpha α、迭代次数 T T T、损失函数 J ( θ ) J(\theta) J(θ) 初始化参数 θ [ θ 1 , θ 2 , . . . , θ n ] \theta [\theta_1, \theta_2, ..., \theta_n] θ[θ1,θ2,...,θn]其中 n n n 表示模型参数的个数。 将迭代次数设置为 t 0 t 0 t0。 如果 t T t T tT则停止迭代否则继续下面的步骤。 计算损失函数 J ( θ ) J(\theta) J(θ) 对参数 θ \theta θ 的梯度 ∇ θ J ( θ ) \nabla_\theta J(\theta) ∇θJ(θ)。 根据学习率 α \alpha α更新参数 θ \theta θ 将迭代次数 t t t 加 1。 返回步骤 3。 1.3 梯度下降法的算法公式实现
梯度下降法的算法公式可以很简单地实现。下面是一个基本的梯度下降算法的伪代码
输入: 学习率 α \alpha α迭代次数 T T T初始参数 θ \theta θ
Repeat T T T 次: 计算损失函数 J ( θ ) J(\theta) J(θ) 对参数 θ \theta θ 的梯度 ∇ θ J ( θ ) \nabla_\theta J(\theta) ∇θJ(θ) 更新参数 θ θ − α ∇ θ J ( θ ) \theta \theta - \alpha \nabla_\theta J(\theta) θθ−α∇θJ(θ)
返回参数 θ \theta θ
以下是一个简化的 Python 实现代码示例
def gradient_descent(X, y, learning_rate, iterations):# 初始化参数theta np.zeros(X.shape[1])m len(y)for i in range(iterations):# 计算模型预测值h np.dot(X, theta)# 计算损失函数对参数的偏导数gradient (1 / m) * np.dot(X.T, (h - y))# 更新参数theta theta - learning_rate * gradientreturn theta在这个代码中X 是特征矩阵y 是目标向量learning_rate 是学习率iterations 是迭代次数。通过计算参数梯度和更新参数最终返回训练得到的参数 θ \theta θ。
请注意该代码示例假设使用线性回归进行梯度下降因此对应的损失函数为均方误差。对于不同的模型和损失函数需要根据具体情况进行相应的修改。 02. 牛顿法Newton’s Method和拟牛顿法Quasi-Newton Methods 2.1 什么是牛顿法和拟牛顿法
牛顿法和拟牛顿法是一类基于二阶导数信息的优化算法。牛顿法使用二阶导数海森矩阵来更新参数可以更快地收敛但计算代价较高。拟牛顿法通过近似海森矩阵来降低计算复杂度并在一定程度上保持收敛性能。 2.2 牛顿法和拟牛顿法的具体步骤和算法公式
牛顿法Newton’s Method和拟牛顿法Quasi-Newton Method都是一种迭代优化算法用于求解无约束优化问题。它们通过逐步逼近目标函数的最小值点并更新参数的方法不同。下面分别介绍牛顿法和拟牛顿法的具体步骤和算法公式 牛顿法 牛顿法利用目标函数的二阶导数海森矩阵来逼近目标函数的局部形状并通过更新参数来逼近最小值点。 输入目标函数 f ( x ) f(x) f(x), 初始点 x 0 x_0 x0迭代停止准则例如梯度大小或迭代次数 初始化 x x 0 x x_0 xx0设置迭代次数 k 0 k 0 k0。计算目标函数的一阶导数梯度和二阶导数海森矩阵 g k ∇ f ( x k ) g_k \nabla f(x_k) gk∇f(xk) H k ∇ 2 f ( x k ) H_k \nabla^2 f(x_k) Hk∇2f(xk)。求解方程 H k Δ x − g k H_k \Delta x -g_k HkΔx−gk得到搜索方向 Δ x \Delta x Δx。选择合适的步长 α \alpha α更新参数 x k 1 x k α Δ x x_{k1} x_k \alpha \Delta x xk1xkαΔx。若满足停止准则如梯度的大小是否小于某个阈值则停止迭代否则令 k k 1 k k 1 kk1返回步骤 2。
在每次迭代中牛顿法使用搜索方向和步长来更新参数并在每一步中计算目标函数的一阶和二阶导数。相比于梯度下降法牛顿法可以更快地收敛到最小值附近。 拟牛顿法 拟牛顿法是对牛顿法的改进因为计算精确的海森矩阵较为困难拟牛顿法使用近似的方法来构造参数更新规则。 输入目标函数 f ( x ) f(x) f(x)初始点 x 0 x_0 x0迭代停止准则初始的近似海森矩阵 B 0 B_0 B0。 初始化 x x 0 x x_0 xx0设置迭代次数 k 0 k 0 k0。计算目标函数的一阶导数梯度 g k ∇ f ( x k ) g_k \nabla f(x_k) gk∇f(xk)。求解方程 B k Δ x − g k B_k \Delta x -g_k BkΔx−gk得到搜索方向 Δ x \Delta x Δx。选择合适的步长 α \alpha α更新参数 x k 1 x k α Δ x x_{k1} x_k \alpha \Delta x xk1xkαΔx。计算新迭代点的梯度 g k 1 ∇ f ( x k 1 ) g_{k1} \nabla f(x_{k1}) gk1∇f(xk1)。使用近似的方法更新近似海森矩阵 B k B_k Bk。若满足停止准则如梯度的大小是否小于某个阈值则停止迭代否则令 k k 1 k k 1 kk1返回步骤 3。
拟牛顿法中迭代过程中的海森矩阵 B k B_k Bk 是通过历史的一阶导数和参数更新值来逼近目标函数的海森矩阵。常用的拟牛顿法包括DFPDavidon-Fletcher-Powell方法和BFGSBroyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno方法等。 2.3 牛顿法和拟牛顿法的算法公式实现
牛顿法和拟牛顿法的具体算法公式可以通过数学推导得到下面是它们的算法公式实现 牛顿法的算法公式 输入: 目标函数 f ( x ) f(x) f(x)梯度函数 g ( x ) g(x) g(x)海森矩阵函数 H ( x ) H(x) H(x)初始点 x 0 x_0 x0迭代停止准则如梯度大小或迭代次数 Repeat 直到满足停止准则 计算梯度 g k g ( x k ) g_k g(x_k) gkg(xk)计算海森矩阵 H k H ( x k ) H_k H(x_k) HkH(xk)求解线性方程组 H k Δ x − g k H_k \Delta x -g_k HkΔx−gk找到搜索方向 Δ x \Delta x Δx选择合适的步长 α \alpha α更新参数 x k 1 x k α Δ x x_{k1} x_k \alpha \Delta x xk1xkαΔx
返回参数 x ∗ x^* x∗
在实现中需要注意解线性方程组的方法可以选择使用直接求解方法如LU分解、Cholesky分解或迭代方法如共轭梯度法。 拟牛顿法的算法公式 输入: 目标函数 f ( x ) f(x) f(x)梯度函数 g ( x ) g(x) g(x)初始点 x 0 x_0 x0迭代停止准则初始的近似海森矩阵 B 0 B_0 B0 Repeat 直到满足停止准则 计算梯度 g k g ( x k ) g_k g(x_k) gkg(xk)求解线性方程组 B k Δ x − g k B_k \Delta x -g_k BkΔx−gk找到搜索方向 Δ x \Delta x Δx选择合适的步长 α \alpha α更新参数 x k 1 x k α Δ x x_{k1} x_k \alpha \Delta x xk1xkαΔx计算新迭代点的梯度 g k 1 g ( x k 1 ) g_{k1} g(x_{k1}) gk1g(xk1)更新近似海森矩阵 B k B_k Bk 的方法如DFP、BFGS等
返回参数 x ∗ x^* x∗
在实现拟牛顿法时需要选择合适的近似海森矩阵更新方法常用的方法有DFP、BFGS、SR1Symmetric Rank-One等。
下面是使用Python实现牛顿法和拟牛顿法的示例代码 牛顿法的Python实现 import numpy as npdef newton_method(f, df, d2f, x0, epsilon1e-6, max_iter100):x x0for _ in range(max_iter):g df(x)H d2f(x)dx -np.linalg.solve(H, g)x dxif np.linalg.norm(dx) epsilon:breakreturn x# 示例函数
def f(x):return x**2 2*x 1# 示例函数的一阶导数
def df(x):return 2*x 2# 示例函数的二阶导数
def d2f(x):return 2# 使用牛顿法求解最小值点
x0 0 # 初始点
x_min newton_method(f, df, d2f, x0)
print(最小值点:, x_min)
print(最小值:, f(x_min))拟牛顿法的Python实现以BFGS方法为例 import numpy as npdef bfgs_method(f, df, x0, epsilon1e-6, max_iter100):n x0.shape[0]B np.eye(n) # 初始的近似海森矩阵x x0for _ in range(max_iter):g df(x)dx -np.linalg.solve(B, g) # 求解搜索方向alpha line_search(f, df, x, dx) # 步长选择方法这里假设有个line_search函数x_new x alpha*dxg_new df(x_new)s x_new - xy g_new - grho 1 / np.dot(y, s)B (np.eye(n) - rho * np.outer(s, y)) B (np.eye(n) - rho * np.outer(y, s)) rho*np.outer(s, s)x x_newif np.linalg.norm(alpha*dx) epsilon:breakreturn x# 示例函数和一阶导函数同上# 使用BFGS拟牛顿法求解最小值点
x0 np.array([0, 0]) # 初始点
x_min bfgs_method(f, df, x0)
print(最小值点:, x_min)
print(最小值:, f(x_min))这两个示例代码是简化的实现仅适用于特定的目标函数和问题。在实际应用中需要根据具体问题进行调整和改进例如适当修改迭代停止准则、步长选择方法等。同时可以使用更高效的数值计算库如NumPy和线性方程组求解方法如SciPy库的scipy.linalg.solve来提高计算效率。 03. 共轭梯度法Conjugate Gradient 3.1 什么是共轭梯度法
共轭梯度法是一种迭代方法它可以更快地收敛于二次型损失函数。如果逻辑回归的损失函数是二次型共轭梯度法是一种高效且可行的优化算法。 3.2 共轭梯度法的具体步骤和算法公式
共轭梯度法Conjugate Gradient Method是一种用于解决线性方程组的迭代方法它也可以被用于求解无约束最优化问题。这里给出共轭梯度法在求解无约束最优化问题时的步骤和算法公式
假设我们要求解无约束最优化问题 min f ( x ) \min \, f(x) minf(x)其中 f ( x ) f(x) f(x) 是目标函数。令 x ∗ x^* x∗ 是最小值点。 初始化选择初始点 x 0 x_0 x0计算梯度 g 0 ∇ f ( x 0 ) g_0 \nabla f(x_0) g0∇f(x0)初始化搜索方向 d 0 − g 0 d_0 -g_0 d0−g0迭代初始点索引 k 0 k 0 k0。 搜索步长选择一个合适的步长 α k \alpha_k αk例如通过线搜索方法比如Armijo线搜索、Wolfe线搜索等。 更新参数更新参数 x k 1 x k α k d k x_{k1} x_k \alpha_k d_k xk1xkαkdk。 计算梯度计算新的梯度 g k 1 ∇ f ( x k 1 ) g_{k1} \nabla f(x_{k1}) gk1∇f(xk1)。 检查终止准则如果满足终止准则如梯度大小小于给定的阈值或达到最大迭代次数则终止迭代返回最小值点 x ∗ x^* x∗。否则继续下面的步骤。 计算步长系数 β k \beta_k βk β k ∥ g k 1 ∥ 2 ∥ g k ∥ 2 \beta_k \frac{{\|g_{k1}\|^2}}{{\|g_{k}\|^2}} βk∥gk∥2∥gk1∥2。 更新搜索方向更新搜索方向 d k 1 − g k 1 β k d k d_{k1} -g_{k1} \beta_k d_k dk1−gk1βkdk。 增加迭代次数 k k 1 k k 1 kk1。 转到步骤 2。
在每次迭代中共轭梯度法利用之前的搜索方向的信息以更高效地搜索最小值点。在第 k k k 步迭代中 d k d_k dk 是在 k k k-1 步迭代后找到的收敛共轭搜索方向。
需要注意的是共轭梯度法通常用于求解大规模线性方程组或凸二次规划问题其中线性方程组的系数矩阵是对称正定的。对于一般的非线性最优化问题可以采用共轭梯度法的变种如共轭梯度法和拟牛顿法的结合来加速收敛。
请注意共轭梯度法的具体实现可能会因应用和问题的不同而有所调整和改进例如使用合适的线搜索方法和收敛准则。同时可以使用高效的数值计算库如NumPy和线性方程组求解方法如SciPy库的scipy.linalg.solve来提高计算效率。 3.3 共轭梯度法的算法公式实现
以下是共轭梯度法的算法公式实现以求解线性方程组为例
输入: 对称正定矩阵 A A A向量 b b b 输出: 近似解 x x x 初始化选择初始点 x 0 x_0 x0计算初始残差 r 0 b − A x 0 r_0 b - A x_0 r0b−Ax0初始化搜索方向 d 0 r 0 d_0 r_0 d0r0设定迭代初始点索引 k 0 k 0 k0。 迭代更新对于 k 0 , 1 , 2 , … k 0, 1, 2, \dots k0,1,2,…执行以下步骤 2.1. 计算步长 α k r k T r k d k T A d k \alpha_k \frac{{r_k^T r_k}}{{d_k^T A d_k}} αkdkTAdkrkTrk。 2.2. 更新参数 x k 1 x k α k d k x_{k1} x_k \alpha_k d_k xk1xkαkdk。 2.3. 计算残差 r k 1 b − A x k 1 r_{k1} b - A x_{k1} rk1b−Axk1。 2.4. 检查终止准则若满足终止准则如残差大小小于给定的阈值或达到最大迭代次数则终止迭代返回近似解 x x x。 2.5. 计算步长系数 β k r k 1 T r k 1 r k T r k \beta_k \frac{{r_{k1}^T r_{k1}}}{{r_k^T r_k}} βkrkTrkrk1Trk1。 2.6. 更新搜索方向 d k 1 r k 1 β k d k d_{k1} r_{k1} \beta_k d_k dk1rk1βkdk。 2.7. 增加迭代次数 k k 1 k k 1 kk1。 2.8. 转到步骤 2.1。
在每次迭代中共轭梯度法利用了之前的搜索方向的信息以更高效地搜索最小值点。在第 k k k 步迭代中 d k d_k dk 是在 k k k-1 步迭代后找到的收敛共轭搜索方向。
需要注意的是共轭梯度法的实现还需要考虑一些细节例如选择合适的初始点、终止准则的选择、计算过程中的数值稳定性等。此外在实际应用中通常会使用数值计算库提供的高效线性方程组求解方法如Cholesky分解、共轭梯度法等来加速计算过程。
以上提供的是共轭梯度法的基本算法公式实现具体的实现方式可以根据不同的编程语言和数值计算库进行相应的调整和优化。
下面是使用 Python 实现共轭梯度法求解线性方程组的示例代码
import numpy as npdef conjugate_gradient(A, b, x0, max_iter1000, tol1e-6):使用共轭梯度法求解线性方程组 Ax b其中 A 是对称正定矩阵。:param A: 对称正定矩阵:param b: 右侧向量:param x0: 初始点:param max_iter: 最大迭代次数:param tol: 迭代终止的残差阈值:return: 近似解 xx x0r b - np.dot(A, x)d rdelta np.dot(r, r)for i in range(max_iter):q np.dot(A, d)alpha delta / np.dot(d, q)x x alpha * dr_new r - alpha * qdelta_new np.dot(r_new, r_new)if np.sqrt(delta_new) tol:breakbeta delta_new / deltad r_new beta * dr r_newdelta delta_newreturn x其中输入参数 A 和 b 分别为线性方程组的系数矩阵和右侧向量x0 为初始点max_iter 为最大迭代次数tol 为迭代终止的残差阈值。对于大规模的线性方程组可以采用稀疏矩阵进行存储和计算以提高计算效率。
下面给出一个示例用例
# 构造一个对称正定矩阵 A 和右侧向量 b
n 100
A np.random.randn(n, n)
A np.dot(A.T, A)
b np.random.randn(n)# 使用初始化为零的向量作为初始点
x0 np.zeros(n)# 调用共轭梯度法函数求解线性方程组 Ax b
x conjugate_gradient(A, b, x0)# 输出近似解 x
print(近似解 x , x)注意对于一般的非线性最优化问题需要结合共轭梯度法和其他优化方法例如牛顿法、拟牛顿法、共轭梯度法和拟牛顿法的结合等。此外在实际应用中需要对算法进行调整和优化例如选择合适的终止条件、计算过程中的数值稳定性等。 04. 改进的随机梯度下降法Improved Stochastic Gradient Descent 4.1 什么是改进的随机梯度下降法
针对随机梯度下降法的一些缺点如收敛速度较慢、参数更新不稳定等问题已经提出了很多改进的随机梯度下降算法。例如AdaGrad、RMSprop、Adam等算法可以自适应地调整学习率。 05. Adagrad自适应梯度算法 5.1 什么是 Adagrad
Adagrad是一种自适应学习率算法它根据参数的历史梯度进行自适应的学习率调整。它对于稀疏特征的处理效果较好能够有效地进行模型训练。 5.2 RMSprop均方根传播的具体步骤和算法公式
RMSProp均方根传播是一种基于梯度的自适应学习率算法它可以根据每个参数的历史梯度大小来自适应地调整学习率。以下是RMSProp算法的具体步骤和算法公式
输入学习率 α \alpha α初始参数 w w w目标函数的梯度函数 ∇ f ( w ) \nabla f(w) ∇f(w)衰减因子 ρ \rho ρ常数 ϵ \epsilon ϵ。 输出参数的最优解 w ⋆ w^\star w⋆。 初始化初始参数 w w w初始平方梯度和 r 0 r 0 r0迭代次数 t 0 t 0 t0。 迭代更新对于每个迭代 t t t执行以下步骤 2.1. 计算当前迭代的梯度 ∇ t ∇ f ( w t ) \nabla_t \nabla f(w_t) ∇t∇f(wt)。 2.2. 计算平方梯度和的衰减平均 r ρ r ( 1 − ρ ) ∇ t ⊙ ∇ t r \rho r (1 - \rho) \nabla_t \odot \nabla_t rρr(1−ρ)∇t⊙∇t ⊙ \odot ⊙ 表示按元素相乘。 2.3. 调整学习率 η t α r ϵ \eta_t \frac{\alpha}{\sqrt{r \epsilon}} ηtrϵ α。 2.4. 更新参数 w t 1 w t − η t ⊙ ∇ t w_{t1} w_t - \eta_t \odot \nabla_t wt1wt−ηt⊙∇t。 2.5. 增加迭代次数 t t 1 t t 1 tt1。 终止准则根据预设的终止准则如达到最大迭代次数或梯度变化小于阈值决定是否停止迭代。若终止迭代则输出最优解 w ⋆ w^\star w⋆否则返回步骤 2。
RMSProp算法与Adagrad算法都是自适应学习率算法但是RMSProp算法引入了衰减平均的概念可以缓解学习率急剧下降的问题。在RMSProp算法中参数的梯度平方和会通过衰减平均进行平滑以消除梯度信息的噪声影响同时计算出的学习率也会相应地变得更加平滑和稳定提高了优化的性能。
需要注意的是RMSProp算法和Adagrad算法类似都需要对目标函数进行偏导数求解并根据求解结果生成梯度函数。在实践应用中还需要对RMSProp算法进行调参和优化例如选择合适的学习率和衰减因子常数 ϵ \epsilon ϵ 的取值初始参数终止条件等以提高算法的效率和鲁棒性。 5.3 RMSprop均方根传播的算法公式实现
下面是使用 Python 实现 RMSProp 算法的示例代码
import numpy as npdef rmsprop(grad_func, init_theta, alpha0.01, rho0.9, eps1e-8, max_iters1000, tol1e-6):使用 RMSProp 算法求解无约束优化问题min f(theta)其中 grad_func 是目标函数的梯度函数。:param grad_func: 目标函数的梯度函数:param init_theta: 参数的初始值:param alpha: 初始学习率:param rho: 平方梯度和的衰减因子:param eps: 避免除零错误的小常数:param max_iters: 最大迭代次数:param tol: 最小收敛差:return: 近似最优解 thetatheta init_thetagrad_squared_sum np.zeros_like(init_theta)for i in range(max_iters):grad grad_func(theta)grad_squared_sum rho * grad_squared_sum (1 - rho) * grad ** 2learning_rate alpha / (np.sqrt(grad_squared_sum) eps)theta_new theta - learning_rate * gradif np.linalg.norm(theta_new - theta) tol:breaktheta theta_newreturn theta其中输入参数 grad_func 是目标函数的梯度函数形如 grad_func(theta)返回 theta 点处的梯度init_theta 是参数的初始值alpha 是初始学习率rho 是平方梯度和的衰减因子eps 是避免除零错误的小常数max_iters 是最大迭代次数tol 是最小收敛差。输出参数为近似最优解 theta。
需要注意的是目标函数的梯度函数应满足一定的可导性和连续性条件否则求解过程可能出现问题。此外在实践应用中需要对 RMSProp 算法进行调参和优化例如选择合适的学习率、衰减因子、常数 ϵ \epsilon ϵ 的取值、初始参数、终止条件等以提高算法的表现和效率。 06. RMSprop均方根传播 6.1 什么是RMSprop
RMSprop是一种自适应学习率算法它通过利用参数梯度的移动平均值来调整学习率。它可以自动调整学习率的大小从而在不同特征上进行合理的更新。 6.2 Adam自适应矩估计的具体步骤和算法公式
Adam自适应矩估计是一种基于梯度的自适应学习率算法它采用梯度的一阶矩估计和二阶矩估计自适应地调整学习率。以下是Adam算法的具体步骤和算法公式
输入学习率 α \alpha α初始参数 w w w目标函数的梯度函数 ∇ f ( w ) \nabla f(w) ∇f(w)一阶矩估计的衰减因子 β 1 \beta_1 β1二阶矩估计的衰减因子 β 2 \beta_2 β2常数 ϵ \epsilon ϵ。 输出参数的最优解 w ⋆ w^\star w⋆。 初始化初始参数 w w w一阶矩估计 m 0 0 \mathbf{m}_0 0 m00二阶矩估计 v 0 0 \mathbf{v}_0 0 v00迭代次数 t 0 t 0 t0。 迭代更新对于每个迭代 t t t执行以下步骤 2.1. 计算当前迭代的梯度 ∇ t ∇ f ( w t ) \nabla_t \nabla f(w_t) ∇t∇f(wt)。 2.2. 更新一阶矩估计 m t β 1 m t − 1 ( 1 − β 1 ) ∇ t \mathbf{m}_t \beta_1 \mathbf{m}_{t-1} (1 - \beta_1) \nabla_t mtβ1mt−1(1−β1)∇t。 2.3. 更新二阶矩估计 v t β 2 v t − 1 ( 1 − β 2 ) ∇ t 2 \mathbf{v}_t \beta_2 \mathbf{v}_{t-1} (1 - \beta_2) \nabla_t^2 vtβ2vt−1(1−β2)∇t2。 2.4. 校正一阶矩估计的偏差 m ^ t m t 1 − β 1 t \hat{\mathbf{m}}_t \frac{\mathbf{m}_t}{1 - \beta_1^t} m^t1−β1tmt。 2.5. 校正二阶矩估计的偏差 v ^ t v t 1 − β 2 t \hat{\mathbf{v}}_t \frac{\mathbf{v}_t}{1 - \beta_2^t} v^t1−β2tvt。 2.6. 计算学习率调整量 Δ w t α m ^ t v ^ t ϵ \Delta w_t \frac{\alpha \hat{\mathbf{m}}_t}{\sqrt{\hat{\mathbf{v}}_t} \epsilon} Δwtv^t ϵαm^t。 2.7. 更新参数 w t 1 w t − Δ w t w_{t1} w_t - \Delta w_t wt1wt−Δwt。 2.8. 增加迭代次数 t t 1 t t 1 tt1。 终止准则根据预设的终止准则如达到最大迭代次数或梯度变化小于阈值决定是否停止迭代。若终止迭代则输出最优解 w ⋆ w^\star w⋆否则返回步骤 2。
Adam算法的核心思想在于利用梯度的一阶矩估计和二阶矩估计对学习率进行自适应调整同时通过校正偏差来提高精度。具体来说Adam算法使用一阶矩估计 m t \mathbf{m}_t mt 来估计梯度的均值用二阶矩估计 v t \mathbf{v}_t vt 来估计梯度的方差即均方差 然后结合这两个估计量来自适应地调整学习率。在实践应用中还需要对Adam算法进行调参和优化例如选择合适的衰减因子 β 1 \beta_1 β1 和 β 2 \beta_2 β2常数 ϵ \epsilon ϵ 的取值初始参数终止条件等以提高算法的效率和鲁棒性。
需要注意的是和RMSProp算法、Adagrad算法一样Adam算法都需要对目标函数进行偏导数求解并根据求解 6.3 Adam自适应矩估计的算法公式实现
下面是Adam算法的具体实现包括算法公式和伪代码
算法公式
伪代码
输入学习率 alpha, 初始参数 w, 目标函数的梯度函数 grad_f(w), 一阶矩估计的衰减因子 beta1, 二阶矩估计的衰减因子 beta2, 常数 epsilon
输出参数的最优解 w_star初始化初始参数 w, 一阶矩估计 m_0 0, 二阶矩估计 v_0 0, 迭代次数 t 0while 没有达到终止准则 dot t 1当前迭代的梯度 grad_t grad_f(w)更新一阶矩估计m_t beta1 * m_{t-1} (1 - beta1) * grad_t更新二阶矩估计v_t beta2 * v_{t-1} (1 - beta2) * grad_t^2校正一阶矩估计的偏差m_hat_t m_t / (1 - beta1^t)校正二阶矩估计的偏差v_hat_t v_t / (1 - beta2^t)计算学习率调整量delta_w_t alpha * m_hat_t / (sqrt(v_hat_t) epsilon)更新参数w w - delta_w_t返回参数的最优解 w_star希望这个实现可以帮助到你请注意这只是一个粗略的伪代码示例具体的实现可能会因编程语言和应用环境而有所不同。在实际使用Adam算法时还需要进行一些调参和优化来提高算法的性能和收敛速度。 07. Adam自适应矩估计 7.1 什么是 Adam
Adam是一种融合了Momentum和RMSprop的自适应学习率算法。Adam算法具有较好的适应性和鲁棒性能够在训练过程中自动调整学习率和动量。 7.2 Adam的具体步骤和算法公式
Adam是一种自适应学习率方法可以用于优化神经网络的权重在深度学习领域被广泛使用。它结合了RMSProp和Momentum的优点能够在不同维度自适应地调整学习率并对梯度的历史信息进行加权平均从而更加准确地更新模型参数。Adam是一种基于梯度的优化算法可以通过计算梯度的一阶矩和二阶矩估计来更新模型的参数其具体步骤如下
初始化参数学习率 α \alpha α动量参数 β 1 \beta_1 β1二阶动量衰减率 β 2 \beta_2 β2初始一阶矩和二阶矩 m 0 m_0 m0 和 v 0 v_0 v0一般情况下 m 0 m_0 m0 v 0 v_0 v0 初始化为0。在每次迭代中通过反向传播计算损失函数的梯度 g t g_t gt。计算梯度的一阶矩 m t m_t mt 和二阶矩 v t v_t vt m t β 1 m t − 1 ( 1 − β 1 ) g t m_t \beta_1 m_{t-1} (1-\beta_1)g_t mtβ1mt−1(1−β1)gt v t β 2 v t − 1 ( 1 − β 2 ) g t 2 v_t \beta_2 v_{t-1} (1-\beta_2)g_t^2 vtβ2vt−1(1−β2)gt2对一阶和二阶矩进行偏差修正从而减轻因初始化而引入的偏差 m ^ t m t 1 − β 1 t \hat{m}_t \frac{m_t}{1-\beta_1^t} m^t1−β1tmt v ^ t v t 1 − β 2 t \hat{v}_t \frac{v_t}{1-\beta_2^t} v^t1−β2tvt使用修正后的 m t m_t mt 和 v t v_t vt以及超参数 α \alpha α 和 ϵ \epsilon ϵ 更新参数 Δ θ t − α v ^ t ϵ m ^ t \Delta\theta_t -\frac{\alpha}{\sqrt{\hat{v}_t}\epsilon} \hat{m}_t Δθt−v^t ϵαm^t θ t θ t − 1 Δ θ t \theta_t \theta_{t-1} \Delta\theta_t θtθt−1Δθt
其中 t t t 表示迭代的次数 θ \theta θ 是需要进行优化的参数 α \alpha α 是学习率 β 1 \beta_1 β1 和 β 2 \beta_2 β2 是动量系数 ϵ \epsilon ϵ 是一个很小的数以防分母过小。
需要注意的是Adam算法的偏差校正非常重要可以提高算法的性能和收敛速度。在Adam算法中 m ^ t \hat{m}_t m^t 和 v ^ t \hat{v}_t v^t 是在更新权重时对动量和缩放系数进行校正的项。
上述公式中 Δ θ \Delta\theta Δθ 表示需要更新的参数变化量即实现时需要将 θ \theta θ 增加 Δ θ \Delta\theta Δθ 才能更新参数。
下面是Adam算法的数学公式表示 初始化 m 0 0 m_0 0 m00 v 0 0 v_0 0 v00 β 1 0.9 \beta_1 0.9 β10.9 β 2 0.999 \beta_2 0.999 β20.999 α 0.001 \alpha 0.001 α0.001 ϵ 1 0 − 8 \epsilon 10^{-8} ϵ10−8 对于 t 1, 2, …执行以下更新 计算损失函数关于模型参数的梯度 g t ∇ θ J ( θ t − 1 ) g_t \nabla_{\theta} J(\theta_{t-1}) gt∇θJ(θt−1) 更新梯度一阶矩估计 m t β 1 m t − 1 ( 1 − β 1 ) g t m_t \beta_1 m_{t-1} (1-\beta_1)g_t mtβ1mt−1(1−β1)gt 更新梯度二阶矩估计 v t β 2 v t − 1 ( 1 − β 2 ) g t 2 v_t \beta_2 v_{t-1} (1-\beta_2)g_t^2 vtβ2vt−1(1−β2)gt2 偏差校正后的一阶矩估计 m ^ t m t 1 − β 1 t \hat{m}_t \frac{m_t}{1-\beta_1^t} m^t1−β1tmt 偏差校正后的二阶矩估计 7.3 Adam的算法公式实现
以下是使用Python实现Adam算法的代码示例
import numpy as npdef adam_optimizer(grad, m, v, beta1, beta2, alpha, epsilon, t):# 更新梯度一阶矩估计m beta1 * m (1 - beta1) * grad# 更新梯度二阶矩估计v beta2 * v (1 - beta2) * (grad ** 2)# 偏差校正后的一阶矩估计m_hat m / (1 - beta1**t)# 偏差校正后的二阶矩估计v_hat v / (1 - beta2**t)# 更新参数param - alpha * m_hat / (np.sqrt(v_hat) epsilon)return param, m, v# 初始化参数
alpha 0.001 # 学习率
beta1 0.9 # 一阶矩估计衰减率
beta2 0.999 # 二阶矩估计衰减率
epsilon 1e-8 # 平滑项
t 0 # 迭代次数
m np.zeros_like(params) # 梯度一阶矩估计
v np.zeros_like(params) # 梯度二阶矩估计# 在每个迭代步骤中使用Adam算法更新参数
while stopping_criteria:t 1# 计算损失函数关于模型参数的梯度grad compute_gradient(params)# 更新参数param_update, m, v adam_optimizer(grad, m, v, beta1, beta2, alpha, epsilon, t)params param_update上述代码中grad表示损失函数对模型参数的梯度m表示梯度一阶矩估计v表示梯度二阶矩估计beta1表示一阶矩估计衰减率beta2表示二阶矩估计衰减率alpha表示学习率epsilon表示平滑项t表示当前的迭代次数param表示更新后的模型参数。
需要注意的是根据具体的优化问题可能需要根据经验来调整学习率和各个衰减率的取值以获得更好的优化性能。 08. LBFGSLimited-memory Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno 8.1 什么是 LBFGS
LBFGS是一种拟牛顿法的变种它使用有限内存来近似计算海森矩阵的逆。LBFGS方法在逻辑回归中通常用于处理大规模数据集。 8.2 LBFGSLimited-memory Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno的具体步骤和算法公式
LBFGSLimited-memory Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno是一种常用的无约束优化算法包含近似Hessian矩阵的求解过程。下面是LBFGS的具体步骤和算法公式
步骤 初始化参数选择初始参数 x 0 x_0 x0、初始Hessian估计 H 0 H_0 H0、初始步长 α 0 \alpha_0 α0设定迭代次数上限等。 进入迭代循环 计算梯度计算当前参数点处的梯度 g k ∇ f ( x k ) g_k \nabla f(x_k) gk∇f(xk)。 更新搜索方向根据BFGS公式更新搜索方向 d k − H k ⋅ g k d_k -H_k \cdot g_k dk−Hk⋅gk。 线搜索在搜索方向上寻找合适的步长 α k \alpha_k αk满足强Wolfe条件或Armijo条件。 更新参数和梯度差计算参数的更新量 δ x k α k ⋅ d k \delta x_k \alpha_k \cdot d_k δxkαk⋅dk更新参数 x k 1 x k δ x k x_{k1} x_k \delta x_k xk1xkδxk。 计算梯度差计算参数的梯度差 δ g k ∇ f ( x k 1 ) − ∇ f ( x k ) \delta g_k \nabla f(x_{k1}) - \nabla f(x_k) δgk∇f(xk1)−∇f(xk)。 更新Hessian估计根据LBFGS公式更新Hessian估计 H k 1 H k δ x k δ x k ⊤ δ x k ⊤ δ g k − H k δ g k δ g k ⊤ H k δ g k ⊤ H k δ g k H_{k1} H_k \frac{\delta x_k \delta x_k^\top}{\delta x_k^\top \delta g_k} - \frac{H_k \delta g_k \delta g_k^\top H_k}{\delta g_k^\top H_k \delta g_k} Hk1Hkδxk⊤δgkδxkδxk⊤−δgk⊤HkδgkHkδgkδgk⊤Hk。 如果满足终止准则如梯度收敛则停止迭代。否则返回第二步。
算法公式
LBFGS算法通过维护Hessian矩阵的近似来实现无约束优化的迭代过程并利用近似Hessian矩阵来计算搜索方向。这种方法在大规模优化问题中非常高效因为它不需要显式地存储和计算完整的Hessian矩阵。同时LBFGS算法还具有全局收敛性和几何收敛速度等优点。 8.3 LBFGSLimited-memory Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno的算法公式实现
LBFGS算法的具体实现依赖于编程语言和库的实现下面是一份Python实现的参考代码。这里假设优化目标是凸函数并使用Wolfe准则进行线搜索。
import numpy as np
from scipy.optimize import line_searchdef lbfgs(fun, grad, x0, max_iter500, m10, eps1e-5):# 初始化参数x x0f, g fun(x), grad(x)H np.eye(len(x))s_list []y_list []alpha_list []g_norm np.linalg.norm(g)for k in range(max_iter):# 终止准则如果梯度小于阈值终止迭代if g_norm eps:print(fLBFGS converges in {k} iterations)break# 计算搜索方向d -np.linalg.solve(H, g)# 线搜索alpha line_search(fun, grad, x, d, g, f, c11e-4, c20.9)alpha_list.append(alpha[0])x x alpha[0] * d# 计算参数和梯度差f_new, g_new fun(x), grad(x)s, y x - s_list[-m], g_new - y_list[-m]rho 1 / (y s)s_list.append(x)y_list.append(g_new)alpha_list.append(alpha[0])# 更新Hessian估计H_s H s.reshape(-1, 1)H H - rho * H_s y.reshape(1, -1) rho * (s H_s) * np.outer(y, y)g g_newg_norm np.linalg.norm(g)# 保持s和y列表长度为mif len(s_list) m:s_list.pop(0)y_list.pop(0)return x, f_new值得注意的是这份代码使用了以下几个重要的优化技巧
利用线性代数库Numpy中的np.linalg.solve()函数求解线性方程组而不是通过矩阵求逆和矩阵乘法的方式计算搜索方向使用Wolfe准则进行线搜索确保每次搜索都朝着下降的方向维护s、y和alpha列表的长度为m避免列表过长导致内存消耗过大。
当然LBFGS算法的实现还可以进一步优化比如实现各种不同的线搜索准则、动态调整m等方法来提升求解的速度和精度。 09. Adamax 9.1 什么是 Adamax
这是Adam算法的一种变体它使用L∞范数替代了Adam中的L2范数在一些具有稀疏梯度的问题上Adamax的表现比Adam更好。 9.2 Adamax的具体步骤和算法公式
Adamax是一种用于优化神经网络的自适应学习率算法它在Adam算法的基础上将二阶动量指数衰减率 β2替换为无穷范数动量指数衰减率即使得 v 变为 L2 范数的衰减率 β2 和 L∞ 范数的衰减率 β∞ 之间的最大值。它不仅克服了Adam在高维优化中的性能下降问题还可以显著提高高维优化的性能。
Adamax算法的具体步骤如下
初始化学习率α、一阶动量指数衰减率β1、β∞和一个很小的数ε来增强数值的稳定性。初始化一阶矩估计 m 和 v。在每个迭代中计算梯度g然后使用如下公式更新m和v m β1 * m (1 - β1) * g v max(β∞ * v, abs(g))在更新m后对其进行偏差纠正和清零并计算出校正后的m和v: mt m / (1 - β1^t) vt v使用Adamax更新参数θ: θ θ - (α / (1 - β1^t)) * mt / (vt ε)
公式中t是迭代次数Θ是模型参数。
下面是Adamax算法的数学公式表示 初始化 m_0 0 # 初始化一阶矩估计为0 v_0 0 # 初始化v为0 β1 0.9 # 一阶动量指数衰减率 β∞ 0.999 # 无穷范数动量指数衰减率 α 0.001 # 初始学习率 ε 10e-8 # 用于数值稳定性通常设置为很小的值 对于 t 1, 2, …执行以下更新 计算梯度g_t ▽_θ L(Θ_t) 更新一阶矩估计m_t β1 * m_t-1 (1 - β1) * g_t 更新二阶动量估计v_t max(β∞ * v_t-1, |g_t|) 根据偏差校正计算校正后的一阶矩估计m_hat_t m_t / (1 - β1^t) 计算更新参数Θ_t1 Θ_t - α / (1 - β1^t) * m_hat_t / (v_t ε)
Adamax算法与Adam算法非常相似但将二阶动量 v 替换为无穷范数动量 v∞并不需要其偏差校正。公式中|g|表示给定梯度g的所有元素的绝对值的向量。 9.3 Nadam的算法公式实现
以下是使用Python实现Adamax算法的代码示例
import numpy as npdef adamax_optimizer(grad, m, v, beta1, beta_inf, alpha, epsilon, t):# 更新梯度一阶矩估计m beta1 * m (1 - beta1) * grad# 更新梯度二阶动量指数v np.maximum(beta_inf * v, np.abs(grad))# 偏差校正后的一阶矩估计m_hat m / (1 - beta1**t)# 更新参数param - alpha * m_hat / (v epsilon)return param, m, v# 初始化参数
alpha 0.001 # 学习率
beta1 0.9 # 一阶动量指数衰减率
beta_inf 0.999 # 无穷范数动量指数衰减率
epsilon 1e-8 # 平滑项
t 0 # 迭代次数
m np.zeros_like(params) # 梯度一阶矩估计
v np.zeros_like(params) # 无穷范数动量指数# 在每个迭代步骤中使用Adamax算法更新参数
while stopping_criteria:t 1# 计算损失函数关于模型参数的梯度grad compute_gradient(params)# 更新参数param_update, m, v adamax_optimizer(grad, m, v, beta1, beta_inf, alpha, epsilon, t)params param_update上述代码中grad表示损失函数对模型参数的梯度m表示梯度一阶矩估计v表示无穷范数动量指数beta1表示一阶动量指数衰减率beta_inf表示无穷范数动量指数衰减率alpha表示学习率epsilon表示平滑项t表示当前的迭代次数param表示更新后的模型参数。
需要注意的是根据具体的优化问题可能需要根据经验来调整学习率和各个衰减率的取值以获得更好的优化性能。 10. Nadam 10.1 什么是**Nadam
这是一种带无约束方法的Nesterov动量Adam算法可以非常有效地控制m-方向和v-方向的耦合并且通常可以提高Adam的收敛速度。 10.2 Nadam的具体步骤和算法公式
Nadam是一种结合了Nesterov动量和Adam优化算法特性的优化算法。下面是Nadam的具体步骤和算法公式 初始化参数 学习率 α手动动量参数 β1建议为0.9二阶动量指数衰减率 β2建议为0.999平滑项 ε用于数值稳定性通常设置为很小的值比如1e-8 初始化变量 梯度的一阶矩估计 m 初始化为0向量梯度的二阶矩估计 v 初始化为0向量过去动量方向的指数衰减平均 mt 初始化为0向量过去二阶动量方向的指数衰减平均 vt 初始化为0向量 在每次迭代中执行以下步骤 计算梯度 g根据当前参数计算损失函数的导数更新一阶矩估计m β1 * m (1 - β1) * g更新二阶矩估计v β2 * v (1 - β2) * g²偏差校正m_hat m / (1 - β1^t)v_hat v / (1 - β2^t)计算过去动量方向和过去二阶动量方向的指数加权平均 mt β1 * mt (1 - β1) * g vt β2 * vt (1 - β2) * g²计算校正项delta (1 - β1^t) * mt / ((1 - β1^t) * vt ε)根据Nesterov动量公式更新参数 θ θ - α * (β1 * delta (1 - β1) * g) / sqrt((1 - β2^t) * v ε)
其中t表示当前的迭代次数θ表示模型参数。
通过结合Nesterov动量和Adam算法的思想Nadam相对于传统的Adam算法可以更好地控制m-方向和v-方向的耦合从而提高收敛速度和优化性能。 10.3 Nadam的算法公式实现
Nadam算法的具体实现公式如下
首先初始化参数
学习率 α手动动量参数 β1建议为0.9二阶动量指数衰减率 β2建议为0.999平滑项 ε用于数值稳定性通常设置为很小的值比如1e-8
然后初始化变量
梯度的一阶矩估计 m 初始化为0向量梯度的二阶矩估计 v 初始化为0向量过去动量方向的指数衰减平均 mt 初始化为0向量过去二阶动量方向的指数衰减平均 vt 初始化为0向量
在每次迭代中执行以下步骤
计算梯度 g根据当前参数计算损失函数的导数更新一阶矩估计m β1 * m (1 - β1) * g更新二阶矩估计v β2 * v (1 - β2) * g²偏差校正m_hat m / (1 - β1^t)v_hat v / (1 - β2^t)计算过去动量方向和过去二阶动量方向的指数加权平均 mt β1 * mt (1 - β1) * g vt β2 * vt (1 - β2) * g²计算校正项delta (1 - β1^t) * mt / sqrt((1 - β2^t) * v ε)根据Nesterov动量公式更新参数 θ θ - α * (β1 * delta (1 - β1) * g) / (sqrt(v_hat) ε)
其中t表示当前的迭代次数θ表示模型参数。
这些步骤按照顺序执行直到达到预定的迭代次数或达到其他停止条件。通过这种方式Nadam算法在优化过程中会自适应地调整学习率和动量并结合Nesterov动量的思想来加速收敛并获得更好的优化性能。
以下是用Python实现Nadam算法的代码示例
import numpy as npdef nadam_optimizer(grad, m, v, mt, vt, alpha, beta1, beta2, epsilon, t):# 更新梯度一阶矩估计m beta1 * m (1 - beta1) * grad# 更新梯度二阶矩估计v beta2 * v (1 - beta2) * grad**2# 计算偏差校正后的一阶和二阶矩估计m_hat m / (1 - beta1**t)v_hat v / (1 - beta2**t)# 更新过去动量方向和过去二阶动量方向的指数加权平均mt beta1 * mt (1 - beta1) * gradvt beta2 * vt (1 - beta2) * grad**2# 计算校正项deltadelta (1 - beta1**t) * mt / (np.sqrt((1 - beta2**t) * v_hat) epsilon)# 计算更新后的参数param - alpha * (beta1 * delta (1 - beta1) * grad) / (np.sqrt(v_hat) epsilon)return param, m, v, mt, vt其中grad表示损失函数对模型参数的梯度m和v是梯度一阶和二阶矩估计mt和vt是过去动量方向和过去二阶动量方向的指数加权平均alpha是学习率beta1和beta2是手动动量参数和二阶动量指数衰减率epsilon是平滑项t表示当前的迭代次数param表示更新后的模型参数。这个函数将计算和返回Nadam算法中的参数更新公式。
使用上述代码源自的Nadam函数只需要首先初始化所需的变量然后按照迭代次数循环调用Nadam函数即可。
# 初始化参数
alpha 0.001
beta1 0.9
beta2 0.999
epsilon 1e-8
t 0
m np.zeros_like(params)
v np.zeros_like(params)
mt np.zeros_like(params)
vt np.zeros_like(params)# 在每个迭代步骤中使用Nadam算法更新参数
while stopping_criteria:t 1# 计算损失函数关于模型参数的梯度grad compute_gradient(params)# 更新参数param_update, m, v, mt, vt nadam_optimizer(grad, m, v, mt, vt, alpha, beta1, beta2, epsilon, t)params param_update在使用Nadam的神经网络优化过程中我们要根据网络的具体情况来具体设置这些参数的值以充分发挥Nadam算法的特性。
