普陀做网站价格,wordpress接入qq互联,正规网站建设报价,龙华网站开发#x1f9e0; 背景#xff1a;幂级数与收敛半径
一个幂级数#xff08;power series#xff09;#xff1a; ∑ n 0 ∞ a n x n \sum_{n0}^{\infty} a_n x^n n0∑∞anxn
其收敛半径 R R R 表示该级数在哪些 x x x 的取值范围内收敛。其计算公式#xff1a; 1 R … 背景幂级数与收敛半径
一个幂级数power series ∑ n 0 ∞ a n x n \sum_{n0}^{\infty} a_n x^n n0∑∞anxn
其收敛半径 R R R 表示该级数在哪些 x x x 的取值范围内收敛。其计算公式 1 R lim n → ∞ ∣ a n ∣ n \frac{1}{R} \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} R1n→∞limn∣an∣
或者若极限存在也可使用 1 R lim n → ∞ ∣ a n 1 a n ∣ \frac{1}{R} \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n1}}{a_{n}} \right| R1n→∞lim anan1 分析奇次项和偶次项收敛半径
设 对于偶次项令 y x 2 y x^2 yx2则 ∑ n 0 ∞ a 2 n x 2 n ∑ n 0 ∞ a 2 n y n \sum_{n0}^\infty a_{2n} x^{2n} \sum_{n0}^\infty a_{2n} y^n n0∑∞a2nx2nn0∑∞a2nyn 假设其收敛半径为 R y R_y Ry则对 x x x 而言 x 2 R y ⇒ ∣ x ∣ R y x^2 R_y \Rightarrow |x| \sqrt{R_y} x2Ry⇒∣x∣Ry
✅ 所以结论 如果原级数中偶次项组成的子级数对 y x 2 y x^2 yx2 的收敛半径是 R y 1 / p R_y 1/p Ry1/p那么对 x x x 而言收敛半径是 R 偶 1 / p R_{\text{偶}} \sqrt{1/p} R偶1/p 同理奇次项若也类似处理最终也会得出 R 奇 1 / p R_{\text{奇}} \sqrt{1/p} R奇1/p 将偶次项提取出来形成一个以 x 2 x^2 x2 为自变量的新级数其收敛半径是 1 / p 1/p 1/p回代回来后 ∣ x ∣ 1 / p |x| \sqrt{1/p} ∣x∣1/p 。 ✅ 最终结论总结
子级数类型变量替换子级数收敛半径 R y R_y Ry对应原变量 x x x 的收敛半径 R x R_x Rx偶次项 y x 2 y x^2 yx2 1 / p 1/p 1/p 1 / p \sqrt{1/p} 1/p 奇次项 y x 2 y x^2 yx2 1 / p 1/p 1/p 1 / p \sqrt{1/p} 1/p
