网站开发一般学多久,网站建设投标方案,网站互动性,自豪的由wordpress驱动文章目录 引言四、概率基本公式4.1 减法公式4.2 加法公式4.3 条件概率公式4.4 乘法公式 五、事件的独立性5.1 事件独立的定义5.1.1 两个事件的独立5.1.2 三个事件的独立 5.2 事件独立的性质 写在最后 引言
承接上文#xff0c;继续介绍概率论与数理统计第一章的内容。 四、概… 文章目录 引言四、概率基本公式4.1 减法公式4.2 加法公式4.3 条件概率公式4.4 乘法公式 五、事件的独立性5.1 事件独立的定义5.1.1 两个事件的独立5.1.2 三个事件的独立 5.2 事件独立的性质 写在最后 引言
承接上文继续介绍概率论与数理统计第一章的内容。 四、概率基本公式
4.1 减法公式 P ( A − B ) P ( A B ‾ ) P ( A ) − P ( A B ) . P(A-B)P(A \overline{B} )P(A)-P(AB). P(A−B)P(AB)P(A)−P(AB). 证明 A ( A − B ) A B A(A-B)AB A(A−B)AB 且 A − B A-B A−B 与 A B AB AB 互斥根据概率的有限可加性有 P ( A ) P ( A − B ) P ( A B ) P(A)P(A-B)P(AB) P(A)P(A−B)P(AB) 即 P ( A − B ) P ( A ) − P ( A B ) P(A-B)P(A)-P(AB) P(A−B)P(A)−P(AB) 。 A A B ‾ A B AA\overline{B} AB AABAB 且 A B ‾ A\overline{B} AB 与 A B AB AB 互斥由有限可加性得 P ( A B ‾ ) P ( A ) − P ( A B ) P(A \overline{B} )P(A)-P(AB) P(AB)P(A)−P(AB)
4.2 加法公式
1 P ( A B ) P ( A ) P ( B ) − P ( A B ) . P(AB)P(A)P(B)-P(AB). P(AB)P(A)P(B)−P(AB). 证明 A B ( A − B ) ( B − A ) A B AB(A-B)(B-A)AB AB(A−B)(B−A)AB 且 A − B , B − A , A B A-B,B-A,AB A−B,B−A,AB 两两互斥由有限可加性可得 P ( A B ) P ( A − B ) P ( B − A ) P ( A B ) P(AB)P(A-B)P(B-A)P(AB) P(AB)P(A−B)P(B−A)P(AB) 再结合减法公式有 P ( A B ) P ( A ) − P ( A B ) P ( B ) − P ( B A ) P ( A B ) P ( A ) P ( B ) − P ( A B ) . P(AB)P(A)-P(AB)P(B)-P(BA)P(AB)P(A)P(B)-P(AB). P(AB)P(A)−P(AB)P(B)−P(BA)P(AB)P(A)P(B)−P(AB). 2 P ( A B C ) P ( A ) P ( B ) P ( C ) − P ( A B ) − P ( A C ) − P ( B C ) P ( A B C ) . P(ABC)P(A)P(B)P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)P(ABC). P(ABC)P(A)P(B)P(C)−P(AB)−P(AC)−P(BC)P(ABC).
4.3 条件概率公式
设 A , B A,B A,B 为两个事件且 P ( A ) 0 P(A)0 P(A)0 则 P ( B ∣ A ) P ( A B ) P ( A ) . P(B | A) \frac{P(AB)}{P(A)}. P(B∣A)P(A)P(AB).
4.4 乘法公式
1设 P ( A ) 0 P(A)0 P(A)0 则 P ( A B ) P ( A ) P ( B ∣ A ) . P(AB)P(A)P(B|A). P(AB)P(A)P(B∣A).
2 P ( A 1 A 2 … A n ) P ( A 1 ) P ( A 2 ∣ A 1 ) P ( A 3 ∣ A 1 A 2 ) … P ( A n ∣ A 1 A 2 … A n − 1 ) . P(A_1A_2 \dots A_n)P(A_1)P(A_2|A_1)P( A_3|A_1A_2)\dots P(A_n|A_1A_2\dots A_{n-1}). P(A1A2…An)P(A1)P(A2∣A1)P(A3∣A1A2)…P(An∣A1A2…An−1). 五、事件的独立性
5.1 事件独立的定义
5.1.1 两个事件的独立
设 A , B A,B A,B 为两个随机事件若 P ( A B ) P ( A ) P ( B ) P(AB)P(A)P(B) P(AB)P(A)P(B) 则称事件 A , B A,B A,B 相互独立。
5.1.2 三个事件的独立
设 A , B , C A,B,C A,B,C 为三个随机事件若满足 P ( A B ) P ( A ) P ( B ) , P ( A C ) P ( A ) P ( C ) , P ( B C ) P ( B ) P ( C ) , P(AB)P(A)P(B),P(AC)P(A)P(C),P(BC)P(B)P(C), P(AB)P(A)P(B),P(AC)P(A)P(C),P(BC)P(B)P(C), 且 P ( A B C ) P ( A ) P ( B ) P ( C ) P(ABC)P(A)P(B)P(C) P(ABC)P(A)P(B)P(C) 则称三个事件 A , B , C A,B,C A,B,C 相互独立。
5.2 事件独立的性质
性质 1 若事件 A A A 和 B B B 相互独立则 A A A 与 B ‾ \overline{B} B 、 A ‾ \overline{A} A 与 B B B 、 A ‾ \overline{A} A 与 B ‾ \overline{B} B 也相互独立反之亦成立。
证明由独立可知 P ( A B ) P ( A ) P ( B ) P(AB)P(A)P(B) P(AB)P(A)P(B) 则 P ( A B ‾ ) P ( A − B ) P ( A ) − P ( A B ) P ( A ) − P ( A ) P ( B ) P ( A ) P ( B ‾ ) , P(A\overline{B})P(A-B)P(A)-P(AB)P(A)-P(A)P(B)P(A)P(\overline{B}), P(AB)P(A−B)P(A)−P(AB)P(A)−P(A)P(B)P(A)P(B), 即 A A A 与 B ‾ \overline{B} B 相互独立 A ‾ \overline{A} A 与 B B B 相互独立同理可证。 P ( A ‾ ∩ B ‾ ) P ( A ∪ B ) ‾ 1 − P ( A B ) 1 − P ( A ) − P ( B ) P ( A B ) [ 1 − P ( A ) ] [ 1 − P ( B ) ] P ( A ‾ ) P ( B ‾ ) P(\overline{A}\cap \overline{B})P(\overline{A \cup B)}1-P(AB)1-P(A)-P(B)P(AB)[1-P(A)][1-P(B)]P(\overline{A})P(\overline{B}) P(A∩B)P(A∪B)1−P(AB)1−P(A)−P(B)P(AB)[1−P(A)][1−P(B)]P(A)P(B) 则有 A ‾ \overline{A} A 与 B ‾ \overline{B} B 相互独立反之证明同理。
性质 2 设 A , B A,B A,B 为两个随机事件且 P ( A ) 0 P(A)0 P(A)0 或 P ( A ) 1 P(A)1 P(A)1 则 A , B A,B A,B 相互独立。
证明设 P ( A ) 0 P(A)0 P(A)0 由 A B ⊂ A AB \sub A AB⊂A 可知 P ( A B ) ≤ P ( A ) 0 P(AB) \leq P(A)0 P(AB)≤P(A)0 又因为 P ( A B ) ≥ 0 P(AB) \geq0 P(AB)≥0 故 P ( A B ) 0 P(AB)0 P(AB)0 即有 P ( A B ) P ( A ) 0 P(AB)P(A)0 P(AB)P(A)0 可得 P ( A B ) P ( A ) P ( B ) P(AB)P(A)P(B) P(AB)P(A)P(B) 从而有 A , B A,B A,B 相互独立。
设 P ( A ) 1 P(A)1 P(A)1 P ( A ‾ ) 0 P(\overline{A})0 P(A)0 P ( B A ‾ ) P ( B ) − P ( A ) ≤ 1 P(B\overline{A})P(B)-P(A) \leq1 P(BA)P(B)−P(A)≤1 由 P ( A ) 1 P(A)1 P(A)1 可知 P ( B A ‾ ) 0 P(B\overline{A})0 P(BA)0 故 P ( B A ‾ ) P ( A ‾ ) P ( B ) P(B\overline{A})P(\overline{A})P(B) P(BA)P(A)P(B) 即有 A ‾ \overline{A} A 与 B B B 相互独立根据性质 1 事件 A , B A,B A,B 相互独立。 1事件 A , B , C A,B,C A,B,C 两两独立则事件 A , B , C A,B,C A,B,C 不一定独立。 2设 A , B A,B A,B 为两个随机事件且 P ( A ) 0 , P ( B ) 0 P(A)0,P(B)0 P(A)0,P(B)0 则 若 A , B A,B A,B 独立则 A , B A,B A,B 不互斥。因为此时 P ( A B ) P ( A ) P ( B ) 0 P(AB)P(A)P(B)0 P(AB)P(A)P(B)0 不为空集。 若 A , B A,B A,B 互斥则 A , B A,B A,B 不独立。此时 P ( A B ) ∅ P(AB)\empty P(AB)∅ 必不可能等于 P ( A ) P ( B ) P(A)P(B) P(A)P(B) 。 设事件 A 1 , A 2 , … , A m A_1,A_2,\dots,A_m A1,A2,…,Am 事件 B 1 , B 2 , … , B n B_1,B_2,\dots,B_n B1,B2,…,Bn 相互独立则由事件 A 1 , A 2 , … , A m A_1,A_2,\dots,A_m A1,A2,…,Am 所构成的任意事件 φ ( A 1 , A 2 , … , A m ) \varphi(A_1,A_2,\dots,A_m) φ(A1,A2,…,Am) 与由事件 B 1 , B 2 , … , B n B_1,B_2,\dots,B_n B1,B2,…,Bn 构成的任意事件 ϕ ( B 1 , B 2 , … , B n ) \phi (B_1,B_2,\dots,B_n) ϕ(B1,B2,…,Bn) 相互独立。 写在最后
剩下一个贝叶斯和全概率还有概型放到后面吧。
