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1、树概念及结构
1.1、树的概念
1.2 树的相关概念
2、二叉树概念及结构
2.1、概念
2.2、 特殊的二叉树
2.3、二叉树的性质
2.5 、二叉树的存储结构
3、二叉树的顺序结构及实现
3.1、 二叉树的顺序结构
3.2、堆的概念及结构 3.3、堆的实现
3.3.1、堆的结构代码
3.3.2、堆的初始化
3.3.3、堆的插入 3.3.4、堆的删除 3.3.5、取堆顶数据
3.3.6、堆的个数
3.3.7、堆的判空
3.3.8、堆的销毁
3.4、建堆的时间复杂度
3.4.1、向上建堆的时间复杂度 3.4.2、向下调整建堆的时间复杂度证明
3.5、堆的应用
3.5.1、堆排序 3.5.2、堆排序代码
3.5.3、TOP-K问题 1、树概念及结构
1.1、树的概念
树是一种非线性的数据结构它是由nn0个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树也就是说它是根朝上而叶朝下的。有一个特殊的结点称为根结点根节点没有前驱结点 除根节点外其余结点被分成M(M0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm其中每一个集合Ti(1 i m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱可以有0个或多个后继 因此树是递归定义的。 下面我们来看一个树的结构图 注意树形结构中子树之间是不能有交集的否则就不是树形结构变成了一个图。 1.2 树的相关概念 节点的度一个节点含有的子树的个数称为该节点的度 如上图A的为6 叶节点或终端节点度为0的节点称为叶节点 如上图B、C、H、I...等节点为叶节点 非终端节点或分支节点度不为0的节点 如上图D、E、F、G...等节点为分支节点 双亲节点或父节点若一个节点含有子节点则这个节点称为其子节点的父节点 如上图A是B的父节点 孩子节点或子节点一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点 如上图B是A的孩子节点 兄弟节点具有相同父节点的节点互称为兄弟节点 如上图B、C是兄弟节点 树的度一棵树中最大的节点的度称为树的度 如上图树的度为6 节点的层次从根开始定义起根为第1层根的子节点为第2层以此类推 树的高度或深度树中节点的最大层次 如上图树的高度为4 堂兄弟节点双亲在同一层的节点互为堂兄弟如上图H、I互为兄弟节点 节点的祖先从根到该节点所经分支上的所有节点如上图A是所有节点的祖先 子孙以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图所有节点都是A的子孙 森林由mm0棵互不相交的树的集合称为森林2、二叉树概念及结构
2.1、概念
一棵二叉树是结点的一个有限集合该集合: 1. 或者为空 2. 由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成 从上图可以看出
1. 二叉树不存在度大于2的结点 2. 二叉树的子树有左右之分次序不能颠倒因此二叉树是有序树 2.2、 特殊的二叉树 1. 满二叉树一个二叉树如果每一个层的结点数都达到最大值则这个二叉树就是满二叉树。也就是说如果一个二叉树的层数为K且结点总数是2^k-1 则它就是满二叉树。 2. 完全二叉树完全二叉树是效率很高的数据结构完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的有n个结点的二叉树当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。 2.3、二叉树的性质 1. 若规定根节点的层数为1则一棵非空二叉树的第i层上最多有 2^(i-1)个结点. 2. 若规定根节点的层数为1则深度为h的二叉树的最大结点数是 2^h-1. 3. 对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为 , 度为2的分支结点个数为n2 ,则有 n0n2 1 4. 若规定根节点的层数为1具有n个结点的满二叉树的深度h log(n1). (ps 是log以2 为底n1为对数) 5. 对于具有n个结点的完全二叉树如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号则对 于序号为i的结点有 1. 若i0i位置节点的双亲序号(i-1)/2i0i为根节点编号无双亲节点 2. 若2i1n左孩子序号2i12i1n否则无左孩子 3. 若2i2n右孩子序号2i22i2n否则无右孩子 2.5 、二叉树的存储结构 目前我们是需要讲堆结构的这里只详细介绍二叉树的顺序存储 二叉树一般可以使用两种结构存储一种顺序结构一种链式结构。 1. 顺序存储 顺序结构存储就是使用数组来存储一般使用数组只适合表示完全二叉树因为不是完全二叉树会有空间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储关于堆我们后面的章节会专门讲解。二叉树顺序存储在物理上是一个数组在逻辑上是一颗二叉树。 如下图所示 3、二叉树的顺序结构及实现 3.1、 二叉树的顺序结构 普通的二叉树是不适合用数组来存储的因为可能会存在大量的空间浪费。而完全二叉树更适合使用顺序结 构存储。现实中我们通常把堆(一种二叉树)使用顺序结构的数组来存储需要注意的是这里的堆和操作系统 虚拟进程地址空间中的堆是两回事一个是数据结构一个是操作系统中管理内存的一块区域分段。 3.2、堆的概念及结构 堆是具有下列性质的完全二叉树每个结点的值都大于或等于其左右孩子结点的值称为大顶堆例如下面第一张图所示或者每个结点的值都小于或等于其左右孩子结点的值称为小顶堆例如下面第二张图所示 3.3、堆的实现 3.3.1、堆的结构代码 typedef int HPDataType;
typedef struct Heap
{HPDataType* a;//数组int size;//堆结点个数int capacity;//堆的容量
}Heap; 3.3.2、堆的初始化 // 堆的构建
void HeapCreate(Heap* hp)
{assert(hp);hp-a (HPDataType*)malloc(sizeof(int) * 4);hp-size 0;hp-capacity 4;
} 3.3.3、堆的插入 //堆的向上调整
void AdjustUp(HPDataType* a, int child)
{//这里构建的是大根堆int parent (child - 1) / 2;while (child 0)//如果孩子结点不大于0就跳出循环{if (a[child] a[parent]){Swap(a[child], a[parent]);child parent;//孩子结点走到父节点parent (child - 1) / 2;//更新父节点}else{break;}}
}
void HeapPush(Heap* hp, HPDataType x)
{assert(hp);if (hp-size hp-capacity)//判断堆的容量是否满足{HPDataType* tmp (HPDataType*)realloc(hp-a, sizeof(int) * hp-capacity * 2);if (tmp NULL){perror(realloc fail:);exit(-1);}hp-a tmp;hp-capacity * 2;}hp-a[hp-size] x;hp-size;AdjustUp(hp-a, hp-size - 1);//插入向上调整算法
} 算法思想 我们每次向堆里面插入一个树都需要调用向上调整算法如果我们不这样操作那么我们插入的数就不是一个大根堆就无法实现堆的删除取前k大的数等等操作 1.首先我们先让插入的数当做孩子结点拿去和父亲结点比较如果孩子结点大于父结点那么我们就需要交换 2.更新孩子结点和父节点 3.孩子结点不大于0就跳出循环 3.3.4、堆的删除
//堆的向下调整
void AdjustDown(HPDataType* a, int n, int parent)
{int child 2 * parent 1;while (child n){if (child 1 n a[child 1] a[child]){child 1;}if (a[child] a[parent]){Swap(a[child], a[parent]);parent child;child 2 * parent 1;}else{break;}}
}
void HeapPop(Heap* hp)
{assert(hp);Swap(hp-a[0], hp-a[hp-size - 1]);将堆顶的数和最后一个叶子结点交换hp-size--;//堆个数减1AdjustDown(hp-a, hp-size, 0);//调用向下调整算法
} 算法思想 1.交换堆顶和最后叶子结点 2.堆个数减12并且调用向下调整算法 3.找到孩子两个孩子结点中最小的结点将™交换 4.更新父节点和孩子结点 5.如果孩子结点大于结点个数就退出循环 3.3.5、取堆顶数据
HPDataType HeapTop(Heap* hp)
{assert(hp);return hp-a[0];
}
3.3.6、堆的个数
int HeapSize(Heap* hp)
{assert(hp);return hp-size;
}
3.3.7、堆的判空
bool HeapEmpty(Heap* hp)
{assert(hp);return hp-size 0;
}
3.3.8、堆的销毁
void HeapDestory(Heap* hp)
{assert(hp);free(hp-a);hp-capacity hp-size 0;
}
3.4、建堆的时间复杂度
3.4.1、向上建堆的时间复杂度 时间复杂度证明如下图所示 3.4.2、向下调整建堆的时间复杂度证明 向下调整建堆的时间复杂度是ON是向上调整建堆的时间复杂度的优化 计算证明如下图所示 3.5、堆的应用
3.5.1、堆排序
堆排序就是利用堆进行排序的方法。它的基本思想是将待排序的序列构造成一个大顶堆。此时整个序列的最大值就是堆顶的根节点。将它移走其实就是将其与堆数组的末尾元素交换此时末尾元素就是最大值然后将剩余的n-1个序列重新构造一个堆这就会得到n个元素的次大值。如此反复执行便能得到一个有序序列。 注意我们需要升序就需要建大堆。降序就需要建小堆。 堆排序的图形演示 从左至右从上至下演示 3.5.2、堆排序代码
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#includestdio.h
void Swap(int* p1, int* p2)
{int x *p1;*p1 *p2;*p2 x;
}
void PrintArray(int* a, int n)
{for (int i 0; i n; i){printf(%d , a[i]);}
}void AdjustDown(int* a, int n, int parent)
{int child 2 * parent 1;while (child n){if (child 1 n a[child 1] a[child]){child 1;}if (a[child] a[parent]){Swap(a[child], a[parent]);parent child;child 2 * parent 1;}else{break;}}
}
void HeapSort(int* a, int n)
{for (int i (n - 2) / 2; i 0; i--){AdjustDown(a, n - 1, i);}int end n - 1;while (end 0){Swap(a[0], a[end]);end--;AdjustDown(a, end, 0);}PrintArray(a, n);
}
int main()
{int a[10] { 4,2,7,8,3,1,5,6,9,0 };HeapSort(a, sizeof(a) / sizeof(a[0]));return 0;
} 3.5.3、TOP-K问题
TOP-K问题即求数据结合中前K个最大的元素或者最小的元素一般情况下数据量都比较大。 比如专业前10名、世界500强、富豪榜、游戏中前100的活跃玩家等。 对于Top-K问题能想到的最简单直接的方式就是排序但是如果数据量非常大排序就不太可取了(可能数据都不能一下子全部加载到内存中)。最佳的方式就是用堆来解决基本思路如下 1. 用数据集合中前K个元素来建堆 前k个最大的元素则建小堆 前k个最小的元素则建大堆 2. 用剩余的N-K个元素依次与堆顶元素来比较不满足则替换堆顶元素 将剩余N-K个元素依次与堆顶元素比完之后堆中剩余的K个元素就是所求的前K个最小或者最大的元素。 这里利用文件形式演示top-k问题 代码如下 #includestdio.h
#includestdlib.h
#includeassert.h
#includetime.h
void Swap(int * p1,int * p2)
{int x *p1;*p1 *p2;*p2 x;
}
//堆的向下调整
void AdjustDown(int * a, int n, int parent)
{int child 2 * parent 1;while (child n){if (child 1 n a[child 1] a[child]){child 1;}if (a[child] a[parent]){Swap(a[child], a[parent]);parent child;child 2 * parent 1;}else{break;}}
}
void PrintTopK(const char* fin, int k)
{// 1. 建堆--用a中前k个元素建堆int* topK (int*)malloc(sizeof(int) * k);if (topK NULL){perror(malloc fail:);return;}FILE* fout fopen(fin, r);if (fout NULL){perror(FILE fail);return;}for (int i 0; i k; i){fscanf(fout,%d,topK[i]);}// 2. 将剩余n-k个元素依次与堆顶元素交换不满则则替换for (int i (k - 2) / 2; i 0; i--){AdjustDown(topK, k, i);}int val 0;int ret fscanf(fout, %d, val);while (ret ! EOF){if (val topK[0]){topK[0] val;AdjustDown(topK, k, 0);}ret fscanf(fout, %d, val);}for (int i 0; i k; i){printf(%d , topK[i]);}printf(\n);free(topK);fclose(fout);
}void CreateNDate()
{// 造数据int n 10000;srand(time(0));const char* file data.txt;FILE* fin fopen(file, w);if (fin NULL){perror(fopen error);return;}for (size_t i 0; i n; i){int x rand() % 10000;fprintf(fin, %d\n, x);}fclose(fin);
}int main()
{CreateNDate();PrintTopK(data.txt, 10);return 0;
} 注这里得到的就是前10个最大的数 好了小编的分享到这里就结束了有什么不足的地方请大佬多多指教
