建筑工程网站监理答案,wordpress文章页设置,吉林网络公司,建设一个普通的网站需要多少钱文章目录 相似矩阵引言相似矩阵定义相似变换相似变换矩阵相似矩阵的矩阵多项式和特征值相同推论:与对角阵相似的矩阵性质定理 相似矩阵性质相似矩阵的乘方性质相似矩阵和矩阵多项式相似对角阵 对角阵多项式的展开小结 相似矩阵
引言
对角阵是矩阵中最简单的一类矩阵 对角阵相… 文章目录 相似矩阵引言相似矩阵定义相似变换相似变换矩阵相似矩阵的矩阵多项式和特征值相同推论:与对角阵相似的矩阵性质定理 相似矩阵性质相似矩阵的乘方性质相似矩阵和矩阵多项式相似对角阵 对角阵多项式的展开小结 相似矩阵
引言
对角阵是矩阵中最简单的一类矩阵 对角阵相关的乘法运算是很高效的相似方阵是和对角阵相关的概念
相似矩阵定义
设 A , B \bold{{A},\bold{B}} A,B是 n n n阶方阵,如果存在 n n n阶可逆方阵 P \bold{P} P,使得 P − 1 A P B \bold{P^{-1}{AP}{B}} P−1APB,则称方阵 A , B \bold{A},\bold{B} A,B相似,记为 A ∼ B \bold{A}\sim{\bold{B}} A∼B
相似变换
对 A \bold{A} A进行运算 P − 1 A P \bold{P^{-1}AP} P−1AP称为对 A \bold{A} A进行相似变换
相似变换矩阵
矩阵 P \bold{P} P称为相似变换 P − 1 A P \bold{P^{-1}AP} P−1AP的相似变换矩阵
相似矩阵的矩阵多项式和特征值相同 若 n n n阶矩阵 A , B \bold{A,B} A,B相似,则 A , B \bold{A,B} A,B的特征多项式相同,从而 A , B \bold{A,B} A,B的特征值相同 证明: 由 A ∼ B \bold{A\sim{B}} A∼B,有 P \bold{P} P满足 P − 1 A P B \bold{P^{-1}APB} P−1APB所以 f B ( λ ) f_{\bold{B}}(\lambda) fB(λ) ∣ B − λ E ∣ \bold{|B-\lambda{E}|} ∣B−λE∣ ∣ P − 1 A P − λ E ∣ |\bold{P^{-1}AP-\lambda{E}}| ∣P−1AP−λE∣由于 P λ E P − 1 \bold{P\lambda{E}P^{-1}} PλEP−1 λ P E P − 1 \lambda\bold{PEP^{-1}} λPEP−1 λ P P − 1 \lambda\bold{PP^{-1}} λPP−1 λ E \lambda\bold{E} λE,因此,可以将 λ E \bold{\lambda{E}} λE变形为 P ( λ E ) P − 1 \bold{P(\lambda{E})P^{-1}} P(λE)P−1或 P − 1 ( λ E ) P \bold{P^{-1}(\lambda{E})P} P−1(λE)P f B ( λ ) ∣ P − 1 A P − P − 1 ( λ E ) P ∣ f_{\bold{B}}(\lambda)|\bold{P^{-1}AP-\bold{P^{-1}(\lambda{E})P}}| fB(λ)∣P−1AP−P−1(λE)P∣ ∣ P − 1 ( A − λ E ) P ∣ |\bold{P^{-1}(A-\lambda{E})P}| ∣P−1(A−λE)P∣ ∣ P − 1 ∣ ∣ A − λ E ∣ ∣ P ∣ \bold{|P^{-1}||A-\lambda{E}||P|} ∣P−1∣∣A−λE∣∣P∣ ∣ P ∣ − 1 ∣ A − λ E ∣ ∣ P ∣ \bold{|P|^{-1}|A-\lambda{E}||P|} ∣P∣−1∣A−λE∣∣P∣ ∣ A − λ E ∣ \bold{|A-\lambda{E}|} ∣A−λE∣显然 f A ( λ ) f B ( λ ) f_{\bold{A}}(\lambda)f_{\bold{B}}(\lambda) fA(λ)fB(λ) 但是,特征值相同的方阵未必相似
推论:与对角阵相似的矩阵性质定理 与对角阵相似的矩阵的特征值就是对角阵对角元素 若 n n n阶矩阵 A ∼ Λ ( λ 1 , ⋯ , λ n ) \bold{A}\sim{\Lambda(\lambda_1,\cdots,\lambda_n)} A∼Λ(λ1,⋯,λn),则 λ 1 , ⋯ , λ n \lambda_1,\cdots,\lambda_n λ1,⋯,λn是 A A A的 n n n个特征值 证明:对角阵的特征值是对角元素,由本节定理可知, A \bold{A} A的特征值与 Λ \Lambda Λ相同,所以推论成立
相似矩阵性质 A ∼ A \bold{A}\sim{\bold{A}} A∼A A ∼ B ⇒ B ∼ A \bold{A}\sim{\bold{B}}\Rightarrow{\bold{B}\sim{\bold{A}}} A∼B⇒B∼A P − 1 A P B , A P B P − 1 \bold{P}^{-1}\bold{A}\bold P\bold{B},\bold{A}\bold P\bold{B}\bold P^{-1} P−1APB,APBP−1 A ∼ B , B ∼ C ⇒ A ∼ C \bold{A}\sim{\bold{B}},\bold{B}\sim{\bold C}\Rightarrow{\bold{A}\sim{\bold C}} A∼B,B∼C⇒A∼C P − 1 A P B , Q − 1 B Q C \bold{P^{-1}{A}P\bold{B},Q^{-1}\bold{B}QC} P−1APB,Q−1BQC Q C Q − 1 B P − 1 A P \bold{QCQ^{-1}\bold{B}P^{-1}\bold{A}P} QCQ−1BP−1AP P Q C Q − 1 P − 1 A \bold{PQCQ^{-1}P^{-1}\bold{A}} PQCQ−1P−1A ( P Q ) − 1 Q − 1 P − 1 \bold{(PQ)^{-1}Q^{-1}P^{-1}} (PQ)−1Q−1P−1因此 C ∼ A \bold{C\sim{{A}}} C∼A 单位矩阵只和自身相似 设方阵 A \bold{A} A和单位阵 E \bold{E} E相似 P − 1 A P E \bold{P^{-1}{A}PE} P−1APE A P E P − 1 E \bold{APEP^{-1}E} APEP−1E因此和单位阵 E \bold{E} E相似的矩阵是 E \bold{E} E本身 ∣ A ∣ ∣ B ∣ |\bold{A}||\bold{B}| ∣A∣∣B∣ ∣ B ∣ ∣ P − 1 B P ∣ ∣ P − 1 ∣ ∣ B ∣ ∣ P ∣ ∣ P ∣ − 1 ∣ P ∣ ∣ B ∣ B |\bold{B}||P^{-1}\bold{B}P||P^{-1}||\bold{B}||P||P|^{-1}|P||\bold{B}|\bold{B} ∣B∣∣P−1BP∣∣P−1∣∣B∣∣P∣∣P∣−1∣P∣∣B∣B t r ( A ) t r ( B ) tr(\bold{A})tr(\bold{B}) tr(A)tr(B) A , B \bold{A},\bold{B} A,B具有相同的特征值 t r ( A ) ∑ i 1 n a i i ∑ i 1 n λ i tr(\bold{A})\sum\limits_{i1}^{n}a_{ii}\sum\limits_{i1}^{n}\lambda_{i} tr(A)i1∑naiii1∑nλi t r ( B ) ∑ i 1 n b i i ∑ i 1 n λ i tr(\bold{B})\sum\limits_{i1}^{n}b_{ii}\sum\limits_{i1}^{n}\lambda_{i} tr(B)i1∑nbiii1∑nλi ∴ t r ( A ) t r ( B ) \therefore tr(\bold{A})tr(\bold{B}) ∴tr(A)tr(B) r ( A ) r ( B ) r(\bold{A})r(\bold{B}) r(A)r(B) A P − 1 B P \bold{A}P^{-1}\bold{B}P^{} AP−1BP P , P − 1 P,P^{-1} P,P−1都是可逆矩阵,它们都可以表示为一系列的初等矩阵的乘积因此, A \bold{A} A相当于有 B \bold{B} B经过初等变换得到的等价矩阵,它们的秩相等(初等变换不改变秩) A T ∼ B T \bold{A}^T\sim{\bold{B}^T} AT∼BT P − 1 A P B \bold{P^{-1}{A}P{B}} P−1APB Q − 1 B Q A \bold{Q^{-1}{B}Q{A}} Q−1BQA ( P − 1 A P ) T B T \bold{(P^{-1}{A}P)^T{B}^T} (P−1AP)TBT P T A T ( P − 1 ) T B T P^T\bold{A}^T(P^{-1})^T\bold{B}^T PTAT(P−1)TBT P T A T ( P T ) − 1 B T P^T\bold{A}^T(P^{T})^{-1}\bold{B}^T PTAT(PT)−1BT可见 A T ∼ B T \bold{A}^T\sim{\bold{B}^T} AT∼BT A m ∼ B m \bold{A}^m\sim{\bold{B}^m} Am∼Bm B m ( P − 1 A P ) m ( P − 1 A P ) ( P − 1 A P ) ⋯ ( P − 1 A P ) \bold{B}^m(P^{-1}\bold{A}P)^m(P^{-1}\bold{A}P)(P^{-1}\bold{A}P)\cdots{(P^{-1}\bold{A}P)} Bm(P−1AP)m(P−1AP)(P−1AP)⋯(P−1AP) P − 1 A ( P P − 1 ) A ( P ⋯ P − 1 ) A P P^{-1}\bold{A}(PP^{-1})\bold{A}(P\cdots{P^{-1})\bold{A}P} P−1A(PP−1)A(P⋯P−1)AP P − 1 A m P P^{-1}\bold{A}^mP P−1AmP P − 1 A m P B m P^{-1}\bold{A}^mP\bold{B}^m P−1AmPBm 若 A − 1 \bold{A}^{-1} A−1存在,则 B − 1 \bold{B}^{-1} B−1存在, A − 1 ∼ B − 1 , A ∗ ∼ B ∗ \bold{A}^{-1}\sim{\bold{B}^{-1}},\bold{A}^*\sim{\bold{B}^*} A−1∼B−1,A∗∼B∗ B \bold{B} B可逆: 方法1: A ∼ B ⇒ ∣ A ∣ ∣ B ∣ k \bold{A}\sim{\bold{B}}\Rightarrow{|\bold{A}||\bold{B}|}k A∼B⇒∣A∣∣B∣k A − 1 \bold{A}^{-1} A−1存在, ∣ A ∣ ≠ 0 |\bold{A}|\neq{0} ∣A∣0,则 ∣ B ∣ ∣ A ∣ ≠ 0 |\bold{B}||\bold{A}|\neq{0} ∣B∣∣A∣0方法2:由于\bold{A}可逆,则 P − 1 A P B P^{-1}\bold{A}P\bold{B} P−1APB表明, B \bold{B} B是可逆矩阵的乘积,所以\bold{B}也可逆 A − 1 P B − 1 P − 1 \bold{A}^{-1}P\bold{B}^{-1}P^{-1} A−1PB−1P−1,因此 B − 1 ∼ A − 1 \bold{B}^{-1}\sim{\bold{A}^{-1}} B−1∼A−1 设 P − 1 A − 1 P B − 1 P^{-1}\bold{A}^{-1}P\bold{B}^{-1} P−1A−1PB−1 A − 1 1 ∣ A ∣ A ∗ k − 1 A ∗ \bold{A}^{-1}\frac{1}{|\bold{A}|}\bold{A}^*k^{-1}\bold{A}^* A−1∣A∣1A∗k−1A∗ B − 1 1 ∣ B ∣ B ∗ k − 1 B ∗ \bold{B}^{-1}\frac{1}{|\bold{B}|}\bold{B}^{*}k^{-1}\bold{B}^* B−1∣B∣1B∗k−1B∗ P − 1 k − 1 A ∗ P k − 1 B ∗ P^{-1}k^{-1}\bold{A}^*Pk^{-1}\bold{B}^* P−1k−1A∗Pk−1B∗ P − 1 A ∗ P B ∗ P^{-1}\bold{A}^*P\bold{B}^* P−1A∗PB∗
相似矩阵的乘方性质
设 A , B \bold{A,B} A,B相似 A P B k P − 1 \bold{APB}^k\bold{P}^{-1} APBkP−10 A k \bold{A}^k Ak P B k P − 1 \bold{P}\bold{B}^k{\bold{P}^{-1}} PBkP−11 推导: A k \bold{A}^k Ak ( P B P − 1 ) ( P B P − 1 ) ⋯ ( P B P − 1 ) (\bold{P}\bold{B}{\bold{P}^{-1}})(\bold{P}\bold{B}{\bold{P}^{-1}})\cdots(\bold{P}\bold{B}{\bold{P}^{-1}}) (PBP−1)(PBP−1)⋯(PBP−1) P B ( P − 1 P ) B ( P − 1 P ) B ⋯ B ( P − 1 P ) B P − 1 \bold{P}\bold{B}(\bold{P}^{-1}\bold{P})\bold{B}{(\bold{P}^{-1}\bold{P})}\bold{B}\cdots\bold{B}(\bold{P}^{-1}\bold{P})\bold{B}{\bold{P}^{-1}} PB(P−1P)B(P−1P)B⋯B(P−1P)BP−1 P B k P − 1 \bold{P}\bold{B}^k{\bold{P}^{-1}} PBkP−1
相似矩阵和矩阵多项式
设矩阵多项式 f ( A ) ∑ i 0 m a i A i f(\bold{A})\sum\limits_{i0}^{m}a_i\bold{A}^i f(A)i0∑maiAi2,将1代入2有: f ( A ) f(\bold{A}) f(A) ∑ i 0 m a i A i \sum\limits_{i0}^{m}a_i\bold{A}^i i0∑maiAi ∑ i 0 m a i ( P B i P − 1 ) ) \sum\limits_{i0}^{m}a_i(\bold P\bold{B}^i{\bold P^{-1}})) i0∑mai(PBiP−1)) ∑ i 0 m P ( a i B i ) P − 1 \sum\limits_{i0}^{m}\bold P(a_i\bold{B}^i){\bold P^{-1}} i0∑mP(aiBi)P−1,根据矩阵乘法的分配律, f ( A ) f(\bold{A}) f(A) P ( ∑ i 0 m a i B i ) P − 1 \bold{P}(\sum_{i0}^{m}a_i\bold{B}^{i})\bold{P}^{-1} P(∑i0maiBi)P−1 P f ( B ) P − 1 \bold Pf(\bold{{B}})\bold P^{-1} Pf(B)P−1
相似对角阵 当 A \bold{A} A相似于某个对角阵 Λ \bold{\Lambda} Λ,则: A k \bold{A}^k Ak P Λ k P − 1 \bold{P}\bold{\Lambda}^k{\bold{P}^{-1}} PΛkP−1 f ( A ) f(\bold{A}) f(A) P f ( Λ ) P − 1 \bold Pf(\bold{{\Lambda}})\bold P^{-1} Pf(Λ)P−1 由此可见,若矩阵 A \bold{A} A能够表示成 A P Λ P − 1 \bold{A}\bold P\Lambda{\bold P^{-1}} APΛP−1(相似对角化问题),矩阵 A \bold{A} A的多项式问题就能够被转换为对角阵的多项式
对角阵多项式的展开 f ( Λ ) ∑ i 0 m a i Λ i f(\bold\Lambda)\sum_{i0}^{m}a_{i}\bold\Lambda^{i} f(Λ)∑i0maiΛi diag ( f ( λ 1 ) , f ( λ 2 ) , ⋯ , f ( λ n ) ) \text{diag}(f(\lambda_1),f(\lambda_2),\cdots,f(\lambda_n)) diag(f(λ1),f(λ2),⋯,f(λn)), 推导: 对角阵乘方运算性质:若 Λ d i a g ( λ 1 , λ 2 , ⋯ , λ n ) \bold\Lambda\mathrm{diag}(\lambda_1,\lambda_{2},\cdots,\lambda_{n}) Λdiag(λ1,λ2,⋯,λn)为对角阵,则 Λ k \bold\Lambda^k Λk d i a g ( λ 1 k , λ 2 k , ⋯ , λ n k ) \mathrm{diag}(\lambda_1^k,\lambda_{2}^k,\cdots,\lambda_{n}^k) diag(λ1k,λ2k,⋯,λnk) f ( Λ ) a 0 ( 1 1 ⋱ 1 ) a 1 ( λ 1 λ 2 ⋱ λ n ) ⋯ a n ( λ 1 n λ 2 n ⋱ λ n n ) ( ∑ i 0 m a i λ 1 i ∑ i 0 m a i λ 2 i ⋱ ∑ i 0 m a i λ n i ) ( f ( λ 1 ) f ( λ 2 ) ⋱ f ( λ n ) ) \begin{aligned} f(\Lambda) \small{a_0\begin{pmatrix} {{1}} {} {} {} \cr {} {{ 1}} {} {} \cr {} {} \ddots {} \cr {} {} {} {{1}} \cr \end{pmatrix} a_1\begin{pmatrix} {{\lambda _1}} {} {} {} \cr {} {{\lambda _2}} {} {} \cr {} {} \ddots {} \cr {} {} {} {{\lambda _n}} \cr \end{pmatrix} \cdots a_n\begin{pmatrix} {{\lambda _1^n}} {} {} {} \cr {} {{\lambda _2^n}} {} {} \cr {} {} \ddots {} \cr {} {} {} {{\lambda _n^n}} \cr \end{pmatrix}} \\ \begin{pmatrix} \sum_{i0}^{m}a_{i}\lambda_1^{i} {} {} {} \cr {} \sum_{i0}^{m}a_{i}\lambda_2^{i} {} {} \cr {} {} \ddots {} \cr {} {} {} \sum_{i0}^{m}a_{i}\lambda_n^{i} \cr \end{pmatrix} \begin{pmatrix} {f({\lambda _1}}) {} {} {} \cr {} f({{\lambda _2}}) {} {} \cr {} {} \ddots {} \cr {} {} {} f({{\lambda _n}}) \cr \end{pmatrix} \end{aligned} f(Λ)a0 11⋱1 a1 λ1λ2⋱λn ⋯an λ1nλ2n⋱λnn ∑i0maiλ1i∑i0maiλ2i⋱∑i0maiλni f(λ1)f(λ2)⋱f(λn) 这个展开式告诉我们,对角阵(矩阵)的多项式可以归结为数(标量)的多项式的计算
小结
上述结论说明,相似阵之间有很多共同点特别是,当 A \bold{A} A有一个与之相似的对角阵时,许多关于 A \bold{A} A的计算就可以被简化,例如矩阵多项式的计算,这个问题归结为方阵相似对角化
