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目标或 成本 函数 - …系列文章目录 前言
模型预测控制可在每个控制间隔内解决一个优化问题具体来说就是二次规划(QP)。求解结果决定了被控对象在下一个控制间隔之前使用的操纵变量MV。
该 QP 问题具有以下特点
目标或 成本 函数 - 要最小化的控制器性能的非负标量。约束条件 - 解决方案必须满足的条件如 MV 和被控对象输出变量的物理边界。决策 - 在满足约束条件的同时使成本函数最小化的 MV 调整。
下文将详细介绍这些功能。 一、标准代价函数
标准成本函数是四个项的总和每个项都侧重于控制器性能的一个特定方面如下所示 这里zk 是 QP 决策。如下所述每个项都包含权重可帮助您平衡相互竞争的目标。虽然 MPC 控制器提供了默认权重但您通常需要对其进行调整以适应您的应用。
1.1 输出参考跟踪 在大多数应用中控制器必须将选定的被控对象输出保持在或接近指定的参考值。MPC 控制器使用以下标量性能指标进行输出参考跟踪 此处
k - 当前控制间隔。p - 预测范围区间数。ny - 被控对象输出变量的个数。zk - QP 决策取值为 yj(ki|k) - 第 j 个被控对象在第 i 个预测水平步的输出预测值单位为工程单位。rj(ki|k) - 第 j 个被控对象在第 i 个预测水平步的输出参考值单位为工程单位。 - 第 j 个被控对象产量的比例因子单位为工程单位。 - 第 i 个预测水平步的第 j 个被控对象输出的调整权重无量纲。
值 ny、p、 和 是恒定的控制器规格。控制器接收整个预测范围内的参考值 rj(ki|k)。控制器使用状态观测器来预测被控对象的输出 yj(ki|k)这些输出取决于受控变量调整 (zk)、测量干扰 (MD) 和状态估计值。在间隔 k 时可获得控制器状态估计值和 MD 值。因此Jy 仅是 zk 的函数。
1.2 操纵变量跟踪 在某些应用中例如当被控对象的输出多于操纵变量时控制器必须将选定的操纵变量 (MV) 保持在或接近指定的目标值。MPC 控制器使用以下标量性能指标进行操纵变量跟踪 此处
k - 当前控制间隔。p - 预测范围区间数。nu - 受控变量的数量。zk - QP 决策取值为uj,target(ki|k) - 第 j 个 MV 在第 i 个预测水平步的目标值单位为工程单位。 - 第 j 个 MV 的比例因子单位为工程单位。 - 第 j 个 MV 在第 i 个预测水平步的调整权重无量纲。
数值 nu、p、 和 是恒定的控制器规格。控制器接收整个范围内的 uj,target(ki|k) 值。控制器利用状态观测器预测被控对象的输出。因此Ju 只是 zk 的函数。
1.3 操纵变量移动抑制 大多数应用都喜欢小的 MV 调整移动。MPC 常量使用以下标量性能指标来抑制操纵变量移动 此处
k - 当前控制间隔。p - 预测范围区间数。ny - 被控对象输出变量的个数。zk - QP 决策取值为 - 第 j 个 MV 的比例因子单位为工程单位。 - 第 j 个 MV 运动在第 i 个预测水平步的调整权重无量纲。
的值是控制器的常数。u(k-1|k) u(k-1)是上一个控制区间的已知 MV。JΔu 仅是 zk 的函数。
此外控制区间 m p或 MV 阻塞会限制某些 MV 移动为零。
1.4 违反约束
在实践中违反约束可能是不可避免的。软约束允许在这种情况下获得可行的 QP 解决方案。MPC 控制器采用一个无量纲、非负的松弛变量 εk它量化了最坏情况下的约束违规。(见约束条件相应的性能指标为 这里
zk - QP 决策取值为 εk - 控制区间 k 的松弛变量无量纲。
ρε - 违反约束条件的惩罚权重无量纲。 二、 替代成本函数
您可以选择使用以下替代标准成本函数的方法 这里Qny-by-ny、Ru 和 RΔunu-by-nu是正半无穷权重矩阵并且 也是、
Sy - 被控对象输出可变比例系数的对角矩阵单位为工程单位。
Su - 以工程单位表示的 MV 比例因子对角矩阵。
r(k1|k) - 第 i 个预测水平步的 ny 个被控对象输出参考值单位为工程单位。
y(k1|k) - 第 i 个预测水平步的 ny 个被控对象的工厂产出单位为工程单位。
zk - QP 决策取值为 utarget(ki|k) - u(ki|k) 对应的 nu MV 目标值单位为工程单位。
与标准成本函数一样输出预测使用状态观测器。
替代成本函数允许非对角线加权但要求每个预测水平步的权重相同。
如果满足以下条件替代成本函数和标准成本函数是相同的
标准成本函数采用的权重 w , 和 w 相对于指数 i 1:p 是常数。矩阵 Q、Ru 和 RΔu 是对角线对角元素是这些权重的平方。
三、约束条件 某些约束条件是隐含的。例如控制范围 m p或 MV 阻塞会强制某些 MV 增量为零而用于被控对象输出预测的状态观测器是一组隐式相等约束。您可以配置的显式约束如下所述。
3.1 被控对象输出、MV 和 MV 增量的界限
最常见的 MPC 约束是边界如下所示。 这里的 V 参数ECR 值是无量纲控制器常数类似于成本函数权重但用于约束软化参见约束软化。此外还有
εk - 用于约束软化的标量 QP 松弛变量无量纲。
syj - 第 j 个被控对象输出的比例因子单位为工程单位。
suj - 第 j 个 MV 的比例因子单位为工程单位。
yj,min(i)、yj,max(i) - 第 j 个被控对象在第 i 个预测水平步的产量下限和上限单位为工程单位。
uj,min(i)、uj,max(i) - 第 j 个 MV 在第 i 个预测水平步的下限和上限单位为工程单位。
Δuj,min(i)、Δuj,max(i) - 第 i 个预测水平步的第 j 个 MV 增量的下限和上限单位为工程单位。
除松弛变量非负条件外上述所有约束条件都是可选的默认为非活动状态即初始化为无限极限值。要包含约束条件必须在设计控制器时指定有限极限值。
四、QP 矩阵
本节介绍与优化问题中描述的模型预测控制优化问题相关的矩阵。
4.1 预测
假设输入干扰模型中描述的干扰模型为单位增益即 d(k) nd(k) 为白高斯噪声。可以将此问题表示为 那么预测模型就是 接下来考虑预测模型在时间 k0 时的未来轨迹问题。对所有预测时刻 i 设置 nd(i)0得到 该方程给出的解是 其中 4.2 优化变量
设 m 为自由控制移动的次数设 z [z0; ...; zm-1]。那么 其中JM 取决于阻塞动作的选择。z0、......、zm-1 与松弛变量ɛ 一起构成了优化问题的自由优化变量。在系统只有一个操纵变量的情况下z0、......、zm-1 是标量。
考虑下图中描述的阻塞动作。
阻塞移动 移动 [2 3 2] 的输入和输入增量 这个图形对应于选择 moves[2 3 2]或者等价于 u(0)u(1)u(2)u(3)u(4)u(5)u(6)Δ u(0)z0Δ u(2)z1Δ u(5)z2Δ u(1)Δ u(3)Δ u(4)Δ u(6)0.
那么相应的矩阵 JM 为 有关操纵变量阻塞的更多信息请参阅操纵变量阻塞。
4.3 成本函数
标准形式。 要优化的函数是 其中 最后在代入 u(k)、Δu(k)、y(k)之后J(z) 可重写为
其中 注意事项
您可能希望 QP 问题保持严格的凸性。如果 Hessian 矩阵 KΔU 的条件数大于 1012请在每个对角项上添加 10*sqrt(eps)。只有当所有输入率都未受惩罚WΔu0时才能使用此解决方案请参阅 mpc 对象的权重属性。
替代成本函数。 如果使用 替代成本函数 中所示的替代成本函数则等式 1 由以下公式代替 在这种情况下分块对角矩阵重复 p 次例如预测范围内每一步重复一次。
您也可以选择使用标准形式和替代形式的组合。更多信息请参阅 mpc 对象的权重属性。
约束条件 接下来考虑输入、输入增量和输出的限制以及约束条件 ɛ≥ 0。 注释
为减少计算量控制器会自动消除无关的约束条件如无限边界。因此实时使用的约束集可能远小于本节建议的约束集。
与计算成本函数类似可以将 u(k)、Δu(k)、y(k) 代入得到
