张家港网站建设优化,美橙网站建设教程,婚礼策划网站模板,竞价排名是什么意思文章目录 前言一、差分方程的有理式1.差分方程的有理分式2.因果系统和ROC3.稳定性与ROC 二、频率响应1.定义2.幅频响应3.相频响应4.群延迟 总结 前言
本篇文章会先复习Z变换的有理分式#xff0c;这是之前文章中提过的内容#xff0c;这里会将差分方程和有理分式进行结合来看… 文章目录 前言一、差分方程的有理式1.差分方程的有理分式2.因果系统和ROC3.稳定性与ROC 二、频率响应1.定义2.幅频响应3.相频响应4.群延迟 总结 前言
本篇文章会先复习Z变换的有理分式这是之前文章中提过的内容这里会将差分方程和有理分式进行结合来看。主要是通过有理分式进行对于冲激响应的表达以及根据导函数对于频率响应的介绍。
本文会对Z变换的频率响应中的幅频响应、相频响应以及群延迟的表达式进行推导。
|版本声明山河君未经博主允许禁止转载 一、差分方程的有理式
1.差分方程的有理分式
在音频进阶学习十三——Z变换二有理z变换、稳定性与反变换中其实已经对于差分方程进行有里分式的转换对于差分方程 y [ n ] ∑ k 1 N a k y [ n − k ] ∑ i 0 M b i x [ n − i ] y[n] \sum_{k1}^Na_ky[n-k] \sum_{i 0}^M b_ix[n-i] y[n]k1∑Naky[n−k]i0∑Mbix[n−i] 通过展开然后对于Z变换的线性和时移性得到 Y ( z ) − ( a 1 z − 1 Y ( z ) . . . a N z − N Y ( z ) ) b 0 X ( z ) b 1 z − 1 X ( z ) . . . b M z − M X ( z ) Y(z)-(a_1z^{-1}Y(z)...a_Nz^{-N}Y(z)) b_0X(z)b_1z^{-1}X(z)...b_Mz^{-M}X(z) Y(z)−(a1z−1Y(z)...aNz−NY(z))b0X(z)b1z−1X(z)...bMz−MX(z) 使用有理分式表示为 H ( z ) Y ( z ) X ( z ) b 0 b 1 z − 1 . . . b M z − M 1 − ( a 1 z − 1 . . . a N z − N ) ∑ k 0 M b k z − k 1 − ∑ k 1 N b k z − k H(z)\frac{Y(z)}{X(z)}\frac{b_0b_1z^{-1}...b_Mz^{-M} }{1-(a_1z^{-1}...a_Nz^{-N})} \frac{\sum_{k0}^Mb_kz^{-k}}{1 -\sum_{k1}^Nb_kz^{-k}} H(z)X(z)Y(z)1−(a1z−1...aNz−N)b0b1z−1...bMz−M1−∑k1Nbkz−k∑k0Mbkz−k
而对于满足松弛条件也就是在 n 0 , y [ n ] 0 n0,y[n]0 n0,y[n]0时是一个因果的LTI系统对于LTI系统根据卷积定理又满足 Y ( z ) X ( z ) H ( z ) Y(z)X(z)H(z) Y(z)X(z)H(z)所以这个导函数为有理分式中 H ( z ) H(z) H(z)是系统的单位冲激响应的Z变换且 H ( z ) H(z) H(z)需要满足一定收敛。
2.因果系统和ROC
对于因果系统在音频进阶学习三——离散时间信号与系统中说过是指是在任意时刻 n n n的输出仅仅依赖当前、或者之前时刻的输入与以后的输入无关。并且在讲解LTI系统时对于系统因果性判断的依据是 h [ n ] 0 , n 0 h[n] 0, n0 h[n]0,n0则为因果系统。
在Z变换中因果系统的必要性是需要满足ROC包含 ∣ z ∣ ∞ |z|\infty ∣z∣∞而充分性如果ROC包含 ∣ z ∣ ∞ |z|\infty ∣z∣∞那么该系统一定为因果系统证明方法和音频进阶学习十三——Z变换二有理z变换、稳定性与反变换中相似
将单位冲激响应的Z变换单独拿出来 X ( z ) ∑ n − ∞ − 1 x [ n ] z − n ∑ n 0 ∞ x [ n ] z − n X(z)\sum_{n-\infty}^{-1}x[n]z^{-n}\sum_{n0}^{\infty}x[n]z^{-n} X(z)n−∞∑−1x[n]z−nn0∑∞x[n]z−n
必要性 当系统为因果系统时只需要关注 X ( z ) ∑ n 0 ∞ x [ n ] z − n X(z)\sum_{n0}^{\infty}x[n]z^{-n} X(z)∑n0∞x[n]z−n此时满足收敛就要求 ∑ n 0 ∞ ∣ x [ n ] ∣ ∣ z ∣ − n ∞ \sum_{n0}^{\infty}|x[n]||z|^{-n} \infty ∑n0∞∣x[n]∣∣z∣−n∞即当 ∣ Z ∣ R |Z|R ∣Z∣R也就是某个圆外部分所以ROC包含 ∣ z ∣ ∞ |z|\infty ∣z∣∞。充分性 当 n → − ∞ , − n → ∞ n\rightarrow -\infty, -n \rightarrow \infty n→−∞,−n→∞此时对于 ∑ n − ∞ − 1 x [ n ] z − n \sum_{n-\infty}^{-1}x[n]z^{-n} ∑n−∞−1x[n]z−n部分 x [ n ] x[n] x[n]求和趋于无穷大那么 z − n z^{-n} z−n需要区域无穷小才满足ROC收敛那么 ∣ z ∣ 1 |z|1 ∣z∣1和条件 ∣ z ∣ ∞ |z|\infty ∣z∣∞不符合所以当 ∣ z ∣ ∞ |z|\infty ∣z∣∞时不存在左边部分系统也一定为因果系统。
3.稳定性与ROC
对于LTI系统如果一定稳定那么 h [ n ] h[n] h[n]一定满足绝对可和而对于 H ( z ) ∑ n − ∞ ∞ h [ n ] z − n H(z)\sum_{n-\infty}^{\infty}h[n]z^{-n} H(z)n−∞∑∞h[n]z−n
稳定性的必要条件当 ∑ n − ∞ ∞ ∣ h [ n ] ∣ ∞ \sum_{n-\infty}^{\infty}|h[n]|\infty ∑n−∞∞∣h[n]∣∞时系统稳定的必要条件是ROC一定包含单位圆当 ∣ z ∣ 1 |z|1 ∣z∣1时相当于一定稳定稳定性的充分条件当系统为因果系统那么 H ( z ) H(z) H(z)也一定是绝对可和的即 ∣ z ∣ ∞ |z|\infty ∣z∣∞因为需要该系统稳定所以一定要包含单位圆此时所有的极点应该在单位圆内。
二、频率响应
1.定义
在上一篇文章中介绍过对于频率响应是指单位冲激响应在频域上的特征对于卷积公式使用的是DTFT进行的分析而对于差分方程使用的是Z变换的方式对于单位冲激响应在频域上的特征。
而对于LTI系统上文中给出了传递函数也就是有理分式表达的单位冲激响应Z变换根据音频进阶学习十三——Z变换二有理z变换、稳定性与反变换中对于有理分式的分析我们可以把累加变成累积的形式 H ( z ) ∑ k 0 M b k z − k ∑ k 0 N a k z − k ∏ m 1 M ( 1 − c m z − 1 ) ∏ n 1 N ( 1 − d n z − 1 ) H(z)\frac{\sum_{k0}^Mb_kz^{-k}}{\sum_{k0}^Na_kz^{-k}}\frac{\prod_{m1}^M(1-c_mz^{-1})}{\prod_{n1}^N(1-d_nz^{-1})} H(z)∑k0Nakz−k∑k0Mbkz−k∏n1N(1−dnz−1)∏m1M(1−cmz−1) c m c_m cm是频率响应的零点存在 M M M个 d n d_n dn是频率响应的极点存在 N N N个
由于使用连乘形式对于频率响应分析比较方便下文中使用的是连乘的方式来进行表示同时以 z e j ω ze^{j\omega} zejω为单位圆方便分析。即
对于Z变换中 H ( z ) H ( e j ω ) ∣ z e j ω H(z)H(e^{j\omega})|_{ze^{j\omega}} H(z)H(ejω)∣zejω也就是 z e j ω ze^{j\omega} zejω为单位圆时有 H ( e j ω ) ∑ k 0 M b k e j ω ∑ k 0 N a k e j ω b 0 a 0 ∏ m 1 M ( 1 − c m e j ω ) ∏ n 1 N ( 1 − d n e j ω ) H(e^{j\omega})\frac{\sum_{k0}^Mb_ke^{j\omega}}{\sum_{k0}^Na_ke^{j\omega}}\frac{b_0}{a_0}\frac{\prod_{m1}^M(1-c_me^{j\omega})}{\prod_{n1}^N(1-d_ne^{j\omega})} H(ejω)∑k0Nakejω∑k0Mbkejωa0b0∏n1N(1−dnejω)∏m1M(1−cmejω)
2.幅频响应
和DTFT一样对于幅频响应一样是计算Z变换的模对于模长的求解应该还记得吧就是虚部和实部的平方求根具体可看音频进阶学习九——离散时间傅里叶变换DTFT中对于实部和虚部的介绍而对于Z变换的模就是分子和分母的幅频相除 ∣ H ( e j ω ) ∣ b 0 a 0 ∏ m 1 M ∣ ( 1 − c k e j ω ) ∣ ∏ n 1 N ∣ ( 1 − d k e j ω ) ∣ |H(e^{j\omega})|\frac{b_0}{a_0}\frac{\prod_{m1}^M|(1-c_ke^{j\omega})|}{\prod_{n1}^N|(1-d_ke^{j\omega})|} ∣H(ejω)∣a0b0∏n1N∣(1−dkejω)∣∏m1M∣(1−ckejω)∣ 为了方便分析对于Z变换中幅频响应一般是看模平方也就是 ∣ H ( e j ω ) ∣ 2 H ( e j ω ) × H ∗ ( e j ω ) |H(e^{j\omega})|^2H(e^{j\omega})\times H^*(e^{j\omega}) ∣H(ejω)∣2H(ejω)×H∗(ejω) 代入进去分子和分母也用共轭表示为 ∣ H ( e j ω ) ∣ 2 ( b 0 a 0 ) 2 ∏ m 1 M ( 1 − c k e j ω ) ( 1 − c k ∗ e j ω ) ∏ n 1 N ( 1 − d k e j ω ) ( 1 − d k ∗ e j ω ) |H(e^{j\omega})|^2\Big(\frac{b_0}{a_0}\Big)^2\frac{\prod_{m1}^M(1-c_ke^{j\omega})(1-c_k^*e^{j\omega})}{\prod_{n1}^N(1-d_ke^{j\omega})(1-d_k^*e^{j\omega})} ∣H(ejω)∣2(a0b0)2∏n1N(1−dkejω)(1−dk∗ejω)∏m1M(1−ckejω)(1−ck∗ejω) 如果使用对数表示为 20 log 10 ∣ H ( e j ω ) ∣ 20 log 10 ( b 0 a 0 ) ∑ k 1 M 20 log 10 ( 1 − c k e j ω ) − ∑ k 1 N 20 log 10 ( 1 − d k e j ω ) 20\log_{10}|H(e^{j\omega})|20\log_{10}\Big(\frac{b_0}{a_0}\Big)\sum_{k1}^M20\log_{10}(1-c_ke^{j\omega})-\sum_{k1}^N20\log_{10}(1-d_ke^{j\omega}) 20log10∣H(ejω)∣20log10(a0b0)k1∑M20log10(1−ckejω)−k1∑N20log10(1−dkejω) c k c_k ck是频率响应的零点存在 M M M个 d k d_k dk是频率响应的极点存在 N N N个
3.相频响应
对于上文中的 H ( e j ω ) H(e^{j\omega}) H(ejω) H ( e j ω ) ∑ k 0 M b k e j ω ∑ k 0 N a k e j ω B ( e j ω ) A ( e j ω ) H(e^{j\omega})\frac{\sum_{k0}^Mb_ke^{j\omega}}{\sum_{k0}^Na_ke^{j\omega}}\frac{B(e^{j\omega})}{A(e^{j\omega})} H(ejω)∑k0Nakejω∑k0MbkejωA(ejω)B(ejω) 而对于 H ( e j ω ) H(e^{j\omega}) H(ejω)的实部和虚部分别为 H R e ( e j ω ) R e ( B ( e j ω ) ) R e ( A ( e j ω ) ) I m ( B ( e j ω ) ) I m ( A ( e j ω ) ) R e ( A ( e j ω ) ) 2 I m ( B ( e j ω ) 2 H_{Re}(e^{j\omega}) \frac{Re(B(e^{j\omega}))Re(A(e^{j\omega}))Im(B(e^{j\omega}))Im(A(e^{j\omega}))}{Re(A(e^{j\omega}))^2Im(B(e^{j\omega})^2} HRe(ejω)Re(A(ejω))2Im(B(ejω)2Re(B(ejω))Re(A(ejω))Im(B(ejω))Im(A(ejω)) H I e ( e j ω ) I m ( B ( e j ω ) ) R e ( A ( e j ω ) ) − R e ( B ( e j ω ) ) I m ( A ( e j ω ) ) R e ( A ( e j ω ) ) 2 I m ( B ( e j ω ) 2 H_{Ie}(e^{j\omega}) \frac{Im(B(e^{j\omega}))Re(A(e^{j\omega}))-Re(B(e^{j\omega}))Im(A(e^{j\omega}))}{Re(A(e^{j\omega}))^2Im(B(e^{j\omega})^2} HIe(ejω)Re(A(ejω))2Im(B(ejω)2Im(B(ejω))Re(A(ejω))−Re(B(ejω))Im(A(ejω))
而对于相频响应有 ∠ H ( e j ω ) tan − 1 H I m ( e j ω ) H R e ( e j ω ) ∠ H I m ( e j ω ) ∠ H R e ( e j ω ) \angle H(e^{j\omega})\tan^{-1}\frac{H_{Im}(e^{j\omega})}{H_{Re}(e^{j\omega})}\angle{H_{Im}(e^{j\omega})}\angle{H_{Re}(e^{j\omega})} ∠H(ejω)tan−1HRe(ejω)HIm(ejω)∠HIm(ejω)∠HRe(ejω) 但是这里值得注意的是对于DTFT如果满足则一定收敛而我们在分析相位响应时默认周期是在 [ − π , π ] [-\pi,\pi] [−π,π]之间。
而对于Z变换当 r 1 r1 r1时Z变换和DTFT一样但是由于 z z z存在系统稳定性、极点和零点的问题会在整个复平面上的变换相位也会随着复平面中 z z z的变化而连续变化。
我们对于相位响应的分析是为了相位的变化率此时就存在一个相位卷绕的问题当相位从 π \pi π到 − π -\pi −π时会出现相位跳跃下一篇文章会有图片直观看到。此时则需要区分
主值相位描述的相位变换在 [ − π , π ] [-\pi,\pi] [−π,π]之间对于DTFT而言它意味着相位不连续但这种不连续性在离散时间信号处理中并不会影响信号的分析。连续相位相位变换在 θ 2 k π \theta 2k\pi θ2kπ其中 k k k为整数为了保证保持相位的平滑变化Z变换需要考虑连续相位。
综上对于Z变换它的相位响应使用 A R G ARG ARG表示为主值响应使用 a r g arg arg表示为连续相位响应
主值相频响应 A R G [ H ( e j ω ) ] ∈ [ − π , π ] tan − 1 H I m ( e j ω ) H R e ( e j ω ) ARG[H(e^{j\omega})]\in[-\pi, \pi]\tan^{-1}\frac{H_{Im}(e^{j\omega})}{H_{Re}(e^{j\omega})} ARG[H(ejω)]∈[−π,π]tan−1HRe(ejω)HIm(ejω)连续相位响应 a r g [ H ( e j ω ) ] A R G [ H ( e j ω ) ] 2 π r arg[H(e^{j\omega})] ARG[H(e^{j\omega})]2\pi r arg[H(ejω)]ARG[H(ejω)]2πr
根据上文可知对于相频响应将有理式进行展开分别将实部和虚部进行归纳转换复数相位的性质分子和分母相位之差即为整体相位响应最终可以表示为
主值相频响应 ∠ ∣ H ( e j ω ) ∣ ∠ [ b 0 a 0 ] ∠ ∑ k 1 M [ 1 − c k e j ω ] − ∠ ∑ k 1 N [ 1 − d k e j ω ] \angle|H(e^{j\omega})|\angle\Big[\frac{b_0}{a_0}\Big]\angle\sum_{k1}^M[1-c_ke^{j\omega}]-\angle\sum_{k1}^N[1-d_ke^{j\omega}] ∠∣H(ejω)∣∠[a0b0]∠k1∑M[1−ckejω]−∠k1∑N[1−dkejω]连续相频响应 ∠ ∣ H ( e j ω ) ∣ A R G [ b 0 a 0 ] A R G ∑ k 1 M [ 1 − c k e j ω ] − A R G ∑ k 1 N [ 1 − d k e j ω ] 2 π r \angle|H(e^{j\omega})|ARG\Big[\frac{b_0}{a_0}\Big]ARG\sum_{k1}^M[1-c_ke^{j\omega}]-ARG\sum_{k1}^N[1-d_ke^{j\omega}]2\pi r ∠∣H(ejω)∣ARG[a0b0]ARGk1∑M[1−ckejω]−ARGk1∑N[1−dkejω]2πr
4.群延迟
由上文一样可以知道群延迟信号不同频率分量通过系统的延迟就是求相位响应的导数下式为连续相位响应的群延迟 g r d [ H ( e j ω ] − d d w a r g [ H ( e j ω ) ] − ∑ k 1 M d d ω ( arg [ 1 − c k e j ω ] ) ∑ k 1 N d d ω ( arg [ 1 − d k e j ω ] ) grd[H(e^{j\omega}]-\frac{d}{dw}arg[H(e^{j\omega})]-\sum_{k1}^M\frac{d}{d\omega}(\arg[1-c_ke^{j\omega}])\sum_{k1}^N\frac{d}{d\omega}(\arg[1-d_ke^{j\omega}]) grd[H(ejω]−dwdarg[H(ejω)]−k1∑Mdωd(arg[1−ckejω])k1∑Ndωd(arg[1−dkejω]) 负值的原因是因为相位和频率之间的反向关系。
对于主值相位响应群延迟和连续相位响应群延迟可以使用下图表示 可以看到对于不同的 r r r主值相位响应式跳跃的而连续相位响应式连续的。 总结
由于受到篇幅的原因本篇文章只是对Z变换的频率响应中的幅频响应、相频响应以及群延迟进行了推导。但是在本篇文章中反复提及了Z变换中的零点与极点那么极点和零点到底有什么作用会对于系统带来什么影响这会在下一篇文章中进行介绍。
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