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矢量是物理学中的术语#xff0c;是指具有大小#xff08;magnitude#xff09;和方向的量。如速度、加速度、力等等就是这样的量。向量是数学中的术语#xff0c;也称为欧几里得向量、几何向量、矢量。与向量对应的量叫做数量#xff0c;在物理学中称…相量的加减乘除计算
矢量是物理学中的术语是指具有大小magnitude和方向的量。如速度、加速度、力等等就是这样的量。向量是数学中的术语也称为欧几里得向量、几何向量、矢量。与向量对应的量叫做数量在物理学中称为标量数量只有大小没有方向。
相量是电子工程学中用以表示正弦量大小和相位的矢量。它仅用来表示具有正弦波的电压和电流将电压电流用一个复数形式表示以方便计算。为了让这两个相量相乘具有功率的意义在极坐标系中使用电压和电流的有效值来表示相量的大小表示相量的角度使用电压电流的初相角。不再象直角坐标系采用幅值和正弦函数的乘积来表示。
由于电压和电流同频我们将电压相量和电流相量画在同一个复平面中极坐标系称为相量图。 在上图中
相量U a jb U * [cos(α) jsin(α)]
相量I c jd I * [cos(β) jsin(β)]
相量U1 a jb U1 * [cos(α) jsin(α)]
相量U2 c jd U2 * [cos(β) jsin(β)] 采用有效值表示相量的大小是因为考虑到功率计算如果继续使用幅值表示相量的大小会导致电压电流相量的乘积就失去了功率的意义因此这里采用有效值表示相量的大小。采用初相角表示方向是因为电压电流相量同频。 相量加法 相量U1 相量U2 U1 * [cos(α) jsin(α)] U2 * [cos(β) jsin(β)] [U1 * cos(α) U2 * cos(β)] j[U1 * sin(α) U2 * sin(β)]
相量和模的平方:
[U1 * cos(α) U2 * cos(β)]* [U1 * cos(α) U2 * cos(β)] [U1 * sin(α) U2 * sin(β)]* [U1 * sin(α) U2 * sin(β)] U1*U1 U2*U2 2U1*U2*[cos(α) cos(β) sin(α) sin(β)]
U1*U1 U2*U2 2U1*U2*cos(α-β)
相量和的角度 arctg{[U1 * sin(α) U2 * sin(β)] /[U1 * cos(α) U2 * cos(β)]} 相量加法结论相量的实部和实部相加虚部和虚部相加 相量减法 相量U1 - 相量U2 U1 * [cos(α) jsin(α)] - U2 * [cos(β) jsin(β)] [U1 * cos(α)- U2 * cos(β)] j[U1 * sin(α)- U2 * sin(β)]
相量和模的平方:
[U1 * cos(α)- U2 * cos(β)]* [U1 * cos(α)- U2 * cos(β)] [U1 * sin(α)- U2 * sin(β)]* [U1 * sin(α)- U2 * sin(β)] U1*U1 U2*U2 - 2U1*U2*[cos(α) cos(β) sin(α) sin(β)]
U1*U1 U2*U2 - 2U1*U2*cos(α-β)
相量和的角度 arctg{[U1 * sin(α)- U2 * sin(β)] /[U1 * cos(α)- U2 * cos(β)]} 相量减法结论相量的实部和实部相减虚部和虚部相减 相量乘法 相量U和相量I的乘积[U*cos(α)jU*sin(α)] * [I*cos(β)jI*sin(β)]
UI{[cos(α)cos(β)-sin(α)sin(β)] j [cos(α) sin(β)sin(α) cos(β)]}
UI[cos(αβ) jsin(αβ)] 相量乘法结论“积的模”等于相量的模相乘“积的角度”等于相量的角度相加。 有功功率计算 有功功率功是“电流的有功分量”乘以“电压相量的模”因此有功功率为UIcos(α-β)。 相量除法
相量U和相量I的商[U*cos(α)jU*sin(α)] / [I*cos(β)jI*sin(β)]
(U/I)* [cos(α)jsin(α)] / [cos(β)jsin(β)]
(U/I)* [cos(α)jsin(α)] *[cos(β)-jsin(β)]/ {[cos(β)jsin(β)]* [cos(β)-jsin(β)]}
(U/I)* [cos(α)jsin(α)] *[cos(β)-jsin(β)]
(U/I)* [cos(α)cos(β) sin(α) sin(β)]j[sin(α)cos(β)-cos(α)sin(β)]
(U/I)* [cos(α-β)jsin(α-β)] 相量除法结论“商的模”等于相量的模相除“商的角度”等于相量的角度相减。 复阻抗的相位角φ阻抗是复阻抗的模容抗为1/ωC感抗为ωL
电压相量为U[cos(α)jsin(α)]
复阻抗是一个复数为M[cos(φ)jsin(φ)]
电流相量 U[cos(α)jsin(α)] / M[cos(φ)jsin(φ)]
(U/M)* [cos(α)jsin(α)] / [cos(φ)jsin(φ)]
(U/M)* [cos(α)jsin(α)] * [cos(φ)-jsin(φ)]
(U/M)*{[cos(α)cos(φ) sin(α)sin(φ)]j[sin(α)cos(φ)- cos(α)sin(φ) }
(U/M)*{[cos(α-φ)]j[sin(α-φ) }
电流初相角为 (α-φ)即电流初相角等于电压初相角与复阻抗角度的差。
因此当φ O时电流初相角小于电压初相角即电流滞后电压当φ O时电流初相角大于电压初相角即电流超前电压。
电压电流相位差ψα-(α-φ) φ即电压电流相位差等于复阻抗的角度值。
因此功率因素等于阻抗角度的余弦值,等于电压电流相位差的余弦值。知道了功率因素就等于告诉了复阻抗的角度值。 很多学习《电路分析》的人不知道“视在功率等于电压相量乘以电流相量的共轭”。记得上课时教授给出他的证明过程我疑惑不已以为他在凑答案。估计很多人讲不清楚其中的原因。 证明视在功率等于电压相量乘以电流相量的共轭
已知电压相量为(U, α), 复阻抗为M[cos(φ)jsin(φ)]
经过计算电流初相角为β(α-φ)IU/M得到φα-β
根据视在功率等于电压相量的平方除法以复阻抗得到
[U*cos(α)jU*sin(α)] * [U*cos(α)jU*sin(α)] / M*cos(φ)jM*sin(φ)]
U*U*[cos(2α) jsin(2α)] / [M*cos(φ)jM*sin(φ)]
(U*U/M)* [cos(2α) jsin(2α)]* [cos(φ) - jsin(φ)]
(U*U/M)* [cos(2α) jsin(2α)] * [cos(-φ) jsin(-φ)]
(U*U/M)* [cos(2α-φ) jsin(2α-φ)]
(U*I)* {cos[2α-(α-β)] jsin[2α-(α-β)]}
(U*I)* [cos(α-β) jsin(α-β)]
实部为UIcos(α-β),表示有功功率虚部为UI sin(α-β)表示无功功率。
因此视在功率等于电压相量乘以电流相量的共轭。
基尔霍夫第一定律又称基尔霍夫电流定律简记为KCL其物理背景是电荷守恒公理。假设进入某节点的电流为正值离开这节点的电流为负值则所有涉及这节点的电流的代数和等于零因此又称为节点电流定律。 基尔霍夫第二定律又称基尔霍夫电压定律简记为KVL其物理背景是能量守恒。沿着闭合回路所有元件两端的电势差电压的代数和等于零因此又称为回路电压定律。
