网站开发是用html还是jsp,施工企业应当建立健全什么制度,专业做网站价格,ps软件哪个版本最好用线性二次调节器#xff08;Linear Quadratic Regulator#xff0c;LQR#xff09;是针对线性系统的最优控制方法。LQR 方法标准的求解体系是在考虑到损耗尽可能小的情况下, 以尽量小的代价平衡其他状态分量。一般情况下#xff0c;线性系统在LQR 控制方法中用状态空间方程描… 线性二次调节器Linear Quadratic RegulatorLQR是针对线性系统的最优控制方法。LQR 方法标准的求解体系是在考虑到损耗尽可能小的情况下, 以尽量小的代价平衡其他状态分量。一般情况下线性系统在LQR 控制方法中用状态空间方程描述性能能指标函数由二次型函数描述。 LQR 方法存在以下优点
最小能量消耗和最高路径跟踪精度。求解时能够考虑多状态情况。鲁棒性较强。
缺点
控制效果和模型精确程度有很大相关性。实时计算状态反馈矩阵和控制增益。
一、系统模型
1.1 车辆模型 一般来说阿克曼移动机器人可以简化为自行车模型是一个非线性时变系统工程上一般通过在平衡点附近差分线性化转化为线性系统来分析和控制具体就不推导了我直接给出模型。 1.2 线性系统状态反馈控制示意图
状态反馈是线性能控线性系统镇定的一个有效方法主要是通过极点配置方法寻找一组非正的闭环极点使得闭环系统大范围渐进稳定。 ABC分别代表系统矩阵、输入矩阵和输出矩阵K是待设计的状态反馈增益。
二、控制器设计
2.1 代价函数泛函设计
最优控制里代价函数一般设计为控制性能和控制代价的范数加权和形式如下 其中期望和实际的误差系统定义为 2.2 最优状态反馈控制律推导
当想要状态与期望状态之间的误差越差越小同时控制消耗更少的能量。求解极小值点时新定义拉格朗日函数如下 在拉格朗日函数基础上对各个优化变量的一阶导为零 得 当时候 推导LQR控制律时候设 ,求偏导后可得 由 得 由于状态量初始不为零只能是 又由于当上述方程成立时候收敛到了期望的范围 为零因此得到立卡提方程形式的矩阵微分方程 综上通过迭代或者近似方法求解上述立卡提方程后最优的控制律为 2.3 连续立卡提方程求解流程 三、具体实现代码
3.1 main函数
close all
clear;
clc;
cx [];
cy [];
y0 (t_step) 10*sin(2 * t_step 1);
x0_dot (t_step) 5 * 2 * cos(2 * t_step 1);
x0 (t_step) -40*cos(t_step 0.5);
for theta0:pi/200:2*picx(end 1) x0(theta);cy(end 1) y0(theta);
end
refer_path_primary [cx, cy];
x refer_path_primary(:, 1);
y refer_path_primary(:, 2);
points [x; y];
ds 0.1 ;%等距插值处理的间隔
distance [0, cumsum(hypot(diff(x, 1), diff(y, 1)))];
distance_specific 0:ds:distance(end);
hypot(diff(x, 1), diff(y, 1));
diff(x, 1);
diff(y, 1);
s 0:ds:distance(end);
refer_path interp1(distance, points, distance_specific, spline);
figure(1)
% 绘制拟合曲线
plot(refer_path(:, 1), refer_path(:, 2),b-,x, y,r.);
hold on
refer_path_x refer_path(:,1); % x
refer_path_y refer_path(:,2); % y
for i1:length(refer_path)if i1dx refer_path(i 1, 1) - refer_path(i, 1);dy refer_path(i 1, 2) - refer_path(i, 2);ddx refer_path(3, 1) refer_path(1, 1) - 2 * refer_path(2, 1);ddy refer_path(3, 2) refer_path(1, 2) - 2 * refer_path(2, 2);elseif ilength(refer_path)dx refer_path(i, 1) - refer_path(i - 1, 1);dy refer_path(i, 2) - refer_path(i - 1, 2);ddx refer_path(i, 1) refer_path(i - 2, 1) - 2 * refer_path(i - 1, 1);ddy refer_path(i, 2) refer_path(i - 2, 2) - 2 * refer_path(i - 1, 2);elsedx refer_path(i 1, 1) - refer_path(i, 1);dy refer_path(i 1, 2) - refer_path(i, 2);ddx refer_path(i 1, 1) refer_path(i - 1, 1) - 2 * refer_path(i, 1);ddy refer_path(i 1, 2) refer_path(i - 1, 2) - 2 * refer_path(i, 2);endrefer_path(i,3)atan2(dy, dx);%yawrefer_path(i,4)(ddy * dx - ddx * dy) / ((dx ^ 2 dy ^ 2) ^ (3 / 2));
end
figure(2)
plot(refer_path(:, 3),b-);
figure(3)
plot(refer_path(:, 4),b-)
%
%%目标及初始状态
L2;%车辆轴距
v2;%初始速度
dt0.05;%时间间隔
goalrefer_path(end,1:2);
x_0refer_path_x(1);
y_0refer_path_y(1);
psi_0 refer_path(1, 3);
% %运动学模型
ugv KinematicModel(x_0, y_0, psi_0, v, dt, L);
Q eye(3) * 3.0;
R eye(2) * 2.0;
robot_state zeros(4, 1);
step_points length(refer_path(:, 1));
for i1:1:step_pointsrobot_state(1)ugv.x;robot_state(2)ugv.y;robot_state(3)ugv.psi;robot_state(4)ugv.v;[e, k, ref_yaw, min_idx] calc_track_error(robot_state(1), robot_state(2), refer_path);ref_delta atan2(L * k, 1);[A, B] state_space( robot_state(4), ref_delta, ref_yaw, dt, L);delta lqr(robot_state, refer_path, min_idx, A, B, Q, R);delta delta ref_delta;[ugv.x, ugv.y, ugv.psi, ugv.v] update(0, delta, dt, L, robot_state(1), robot_state(2),robot_state(3), robot_state(4));ugv.record_x(end 1 ) ugv.x;ugv.record_y(end 1 ) ugv.y;ugv.record_psi(end 1 ) ugv.psi;ugv.record_phy(end 1 ) ref_delta;
end
figure(4)
% 绘制拟合曲线
% scr_size get(0,screensize);
% set(gcf,outerposition, [1 1 scr_size(4) scr_size(4)]);
plot(ugv.record_x , ugv.record_y, Colorm,LineStyle--,LineWidth2);
axis([-40,40,-40,40])
grid on
hold on
% 绘制车辆曲线
axis equal
for ii 1:1:length(ugv.record_x)h PlotCarbox(ugv.record_x(ii), ugv.record_y(ii), ugv.record_psi(ii), Color, r,LineWidth2);h1 plot(ugv.record_x(1:ii), ugv.record_y(1:ii),Color, b);th1 text(ugv.record_x(ii), ugv.record_y(ii)10, [#car, num2str(1)], Color, m);set(th1, {HorizontalAlignment},{center});h2 PlotCarWheels(ugv.record_x(ii), ugv.record_y(ii), ugv.record_psi(ii),ugv.record_phy(ii),k,LineWidth2);h3 plot(ugv.record_x(1:ii) , ugv.record_y(1:ii), Colorb,LineStyle-,LineWidth4);drawnowdelete(h); delete(h1);delete(th1);delete(h3);for jj 1:1:size(h2)delete(h2{jj});end
end
%
function [P] cal_Ricatti(A, B, Q, R)Qf Q;P Qf;iter_max 100;Eps 1e-4;for step 1:1:iter_maxP_bar Q A * P * A - A * P * B * pinv(R B * P *B) * B * P * A;criteria max(abs(P_bar - P));if criteria Epsbreak;endP P_bar;endend
%%LQR控制器
function[u_star]lqr(robot_state, refer_path, s0, A, B, Q, R)x robot_state(1:3) - refer_path(s0,1:3);P cal_Ricatti(A, B, Q, R);K -pinv(R B * P * B) * B * P * A;u K * x;%状态反馈u_star u(2);
endfunction [e, k, yaw, min_idx]calc_track_error(x, y, refer_path)p_num length(refer_path);d_x zeros(p_num, 1);d_y zeros(p_num, 1);d zeros(p_num, 1);for i1:1:p_num d_x(i) refer_path(i, 1) - x; d_y(i) refer_path(i, 2) - y;endfor i1:1:p_num d(i) sqrt(d_x(i) ^2 d_y(i) ^ 2) ;end[~, min_idx] min(d); yaw refer_path(min_idx, 3);k refer_path(min_idx, 4);angle normalize_angle(yaw - atan2(d_y(min_idx), d_x(min_idx)));e d(min_idx);if angle 0e e*(-1);end
end
%%将角度取值范围限定为[-pi,pi]
function [angle]normalize_angle(angle)while angle piangle angle - 2*pi;endwhile angle piangle angle 2*pi;end
end
function [x_next, y_next, psi_next, v_next] update(a, delta_f, dt, L, x, y, psi, v)x_next x v * cos(psi) * dt;y_next y v * sin(psi) * dt;psi_next psi v / L * tan(delta_f) * dt;v_next v a * dt;
end
function [A, B]state_space(v, ref_delta, ref_yaw, dt, L)A[ 1.0, 0.0, -v * dt * sin(ref_yaw);0.0, 1.0, v * dt * cos(ref_yaw);0.0, 0.0, 1.0 ];B [ dt * cos(ref_yaw), 0;dt * sin(ref_yaw), 0;dt * tan(ref_delta) / L, v * dt / (L * cos(ref_delta) * cos(ref_delta))];
end
function h PlotCarbox(x, y, theta, varargin)
Params GetVehicleParams();carbox [-Params.Lr -Params.Lb/2; Params.LwParams.Lf -Params.Lb/2; Params.LwParams.Lf Params.Lb/2; -Params.Lr Params.Lb/2];
carbox [carbox; carbox(1, :)];transformed_carbox [carbox ones(5, 1)] * GetTransformMatrix(x, y, theta);
h plot(transformed_carbox(:, 1), transformed_carbox(:, 2), varargin{:});end
function hs PlotCarWheels(x, y, theta, phy, varargin)
Params GetVehicleParams();wheel_box [-Params.wheel_radius -Params.wheel_width / 2;Params.wheel_radius -Params.wheel_width / 2;Params.wheel_radius Params.wheel_width / 2;-Params.wheel_radius Params.wheel_width / 2];front_x x Params.Lw * cos(theta);
front_y y Params.Lw * sin(theta);
track_width_2 (Params.Lb - Params.wheel_width / 2) / 2;boxes {TransformBox(wheel_box, x - track_width_2 * sin(theta), y track_width_2 * cos(theta), theta);TransformBox(wheel_box, x track_width_2 * sin(theta), y - track_width_2 * cos(theta), theta);TransformBox(wheel_box, front_x - track_width_2 * sin(theta), front_y track_width_2 * cos(theta), thetaphy);TransformBox(wheel_box, front_x track_width_2 * sin(theta), front_y - track_width_2 * cos(theta), thetaphy);
};hs cell(4, 1);
for ii 1:4hs{ii} fill(boxes{ii}(:, 1), boxes{ii}(:, 2), varargin{:});
endendfunction transformed TransformBox(box, x, y, theta)
transformed [box; box(1, :)];
transformed [transformed ones(5, 1)] * GetTransformMatrix(x, y, theta);
transformed transformed(:, 1:2);
end
function mat GetTransformMatrix(x, y, theta)
mat [ ...cos(theta) -sin(theta), x; ...sin(theta) cos(theta), y; ...0 0 1];
end
3.2 运动学结构体
classdef KinematicModelhandlepropertiesx;y;psi;v;dt;L;record_x;record_y;record_psi;record_phy;endmethodsfunction selfKinematicModel(x, y, psi, v, dt, L)self.xx;self.yy;self.psipsi;self.v v;self.L L;% 实现是离散的模型self.dt dt;self.record_x [];self.record_y [];self.record_psi [];self.record_phy [];end
end
end
四、仿真参数和效果 4.1 参数配置
%期望轨迹
y0 (t_step) 10*sin(2 * t_step 1);
x0_dot (t_step) 5 * 2 * cos(2 * t_step 1);
L2;%车辆轴距
v2;%初始速度
dt0.05;%时间间隔
Q eye(3) * 3.0;
R eye(2) * 2.0;
robot_state zeros(4, 1);
VehicleParams.Lw 2.8 * 2; % wheel base
VehicleParams.Lf 0.96 * 2; % front hang
VehicleParams.Lr 0.929 * 2; % rear hang
VehicleParams.Lb 1.942 * 2; % width
VehicleParams.Ll VehicleParams.Lw VehicleParams.Lf VehicleParams.Lr; % length
VehicleParams.f2x 1/4 * (3*VehicleParams.Lw 3*VehicleParams.Lf - VehicleParams.Lr);
VehicleParams.r2x 1/4 * (VehicleParams.Lw VehicleParams.Lf - 3*VehicleParams.Lr);
VehicleParams.radius 1/2 * sqrt((VehicleParams.Lw VehicleParams.Lf VehicleParams.Lr) ^ 2 / 4 VehicleParams.Lb ^ 2);
VehicleParams.a_max 0.5;
VehicleParams.v_max 2.5;
VehicleParams.phi_max 0.7;
VehicleParams.omega_max 0.5;
% for wheel visualization
VehicleParams.wheel_radius 0.32*2;
VehicleParams.wheel_width 0.22*2;
iter_max 100;
Eps 1e-4; 4.1 仿真效果
