广东省建设执业资格注册中心网站,400网站建设价格,茂港手机网站建设公司,标识标牌制作设计线性映射
线性映射是将向量作为输入并产生一些新向量作为输出的转换。
从坐标定义开始(数组)#xff0c;再到2#xff0c;3#xff0c;并展示它们是如何关联的
线性映射的坐标表示最终是矩阵#xff0c;
1.坐标定义#xff08;数组#xff09; 列向量是向量的坐标表示…线性映射
线性映射是将向量作为输入并产生一些新向量作为输出的转换。
从坐标定义开始(数组)再到23并展示它们是如何关联的
线性映射的坐标表示最终是矩阵
1.坐标定义数组 列向量是向量的坐标表示。
行向量是协向量的坐标表示。
矩阵是线性映射的坐标表示。 矩阵是如何转变向量的
例子
现有一个作用于2x1列向量的2x2矩阵输出的向量是
但仅通过查看矩阵中的数字来理解矩阵在做什么会让人感到困惑。 但对所有这些数字的含义有一个简单的解释 注意若使用列向量 作为输入将得到矩阵的第一列作为输出。 若使用列向量 作为输入 将得到矩阵的第二列作为输出。 现这些列向量 、 它们有点像基向量e1、e2的副本 之所以说是像副本是因为这里非常重要的一点线性映射转换向量但是线性映射不转换基向量因此当使用线性映射转换向量时基底是不会变的。 我们不会移动基底 虽然输出向量可能与输入向量不同但我们仍将使用相同的基底来测量输出向量但话虽如此对于矩阵第 i 列会告诉你将第 i 个基向量的副本映射到哪里。
因此从视觉上观察一下 现有两基底e1、e2还有两向量vw。v和w有点像e1、e2的副本 有个矩阵如下
那么该矩阵会将向量v(v像e1的副本)发送到哪
只看矩阵的第一列
它表示向量5e13e2 这就是线性映射的输出 V在视觉上 矩阵对向量w(e2的副本)做了什么
看矩阵的第二列给我们输出 -e14e2 视觉上 注意到基向量没有移动因为线性映射不会改变基底我们仍用相同的基底测量输出向量
所以综上矩阵是线性映射的坐标解释。 2.几何定义线性映射视为图片
线性映射 是 空间转换并且保持线平行 保持线间隔均匀保持原点静止。 为从视觉上了解它的外观从2D空间开始上面有一堆网格线
初始的输入空间 这里有三个线性映射的例子 所以上面这个线性映射基本上只是水平方向的拉伸。 这个线性映射像一个旋转 这个线性映射像做一个倾斜变换(可把它想象成在这个方向上做一个旋转然后沿着这个轴伸展)。 正如上面这些图所示在所有这些情况下 输出空间中的网格线仍然彼此平行 都是均匀分布的(即使间距与输入空间不同)并且原点没有移动。
所有的上面这些都是线性映射可以做到的。
注意在该定义下translation are not linear maps------平移不是线性映射。即使平移能使得网格线平行间距均匀但平移会移动原点所以平移不是线性映射 所以这就是可视化的几何定义。 3.抽象定义纯代数
线性映射 是将 向量 映射 到 向量 的函数。
在该情况下现有一映射L将 向量从向量空间V 映射到 向量空间W我们很多例子涉及到的映射是从空间V映射到 空间V 但一般来说输入和输出空间可以不同。
且线性映射在这里遵循两个属性
1、可添加线性映射的输入或输出并得到相同的答案。
2.可缩放输入或缩放输出并得到相同的答案。 这两个属性被称为“线性”、 。 所以协向量和线性映射都是线性函数。唯一的区别是协向量输出一个标量线性映射输出向量。 下面展示 这个抽象定义 如何 与我们看到的其他定义相关联。
如前所说有这个属性 现展示它的几何意义在网格上绘制输入变量这里我们有绿色的向量v和紫色的向量w
vw 用黑色表示。
现展示这图中的三个线性映射是如何服从这个代数性质的。 在这些所有的输出空间中可以看到加法定律仍然有效 对缩放规则(第二个属性)也做同样的事情。 因此先缩放再转换 与 先转换再缩放 是一回事。 还有一个问题坐标定义的来源
对于下图这个矩阵乘法公式若你不知道它背后的原因它看起来真的很奇怪。
事实证明矩阵乘法规则实际上来自上面这个抽象定义
证明
首先我们有一个线性映射L它作用于向量V并产生输出向量W
若将向量V拓展成它的分量就能得到 通过L的线性规则得到
e1、e2是向量所以你可能会问如何根据 基底e1、e2来表达这些向量 现做个 简单的假设 假设线性映射L是从V到V的函数因此输入空间和输出空间是相同的。 因此输出空间V仍然具有基底e1、e2 这意味着我们仍然可以将 这些输出向量 写为相同的旧基 e1、e2的线性组合 而这些线性组合的系数,
这些L系数帮助我们使用“e”基底向量构建线性映射的输出向量。
所以可以将输出向量重写为基的线性组合并且可在此切换内容为以按基向量e1、e2来重新分组 现在由于将W写成基向量的线性组合
因此这些系数 实际上 只是W的分量w1、w2
所以现在我们已经推到出 如何使用这些公式将V系数转换为W系数 而这些公式 就是那些当你做标准的2x2矩阵乘以一个2x1的列向量。 现总结一下如果我们有一个线性映射L它可以像这样将向量V转换为另一个向量W其中W可以写成基底的线性组合并且我门知道如何使用L系数转换基底或者说我们知道L如何转换基向量副本可能更好
这意味着我们可以在这里使用这些公式将V分量变为W分量。
如果对任意数量的维度重复这个论点如果我们有一个n维的线性映射L 我们将从这里的公式中得到所有的L系数然后可以使用这个公式将V分量转换为W分量
