济南商城网站开发,2021百度模拟点击工具,找网站,外贸建站系统源码文章目录 1.二次型1.1 二次型、标准型、规范型、正负惯性指数、二次型的秩1.2 坐标变换1.3 合同1.4 正交变换化为标准型 2.二次型的主要定理3.正定二次型与正定矩阵4.重难点题型总结4.1 配方法将二次型化为标准型4.2 正交变换法将二次型化为标准型4.3 规范型确定取值范围问题4.… 文章目录 1.二次型1.1 二次型、标准型、规范型、正负惯性指数、二次型的秩1.2 坐标变换1.3 合同1.4 正交变换化为标准型 2.二次型的主要定理3.正定二次型与正定矩阵4.重难点题型总结4.1 配方法将二次型化为标准型4.2 正交变换法将二次型化为标准型4.3 规范型确定取值范围问题4.4 已知两个二次型f和g求正否能通过正交变换使得f转换为g4.5 由已知条件反求二次型f(x~1~,x~2~....)的表达式(反求矩阵问题) 1.二次型
1.1 二次型、标准型、规范型、正负惯性指数、二次型的秩
二次型: 二次型中的矩阵A是实对称矩阵实对称矩阵天然的可相似对角化。 解释说明 二次型其实是一个由二次的项组成的式子 它可以写成XTAX的形式,其中A矩阵是对称阵 其中A矩阵是怎么写出来的 1.A的对角线元素是由xn的平方决定a11是x12前的系数a22是x22前的系数以此类推 2. 对称位置a12,a21 这种由混合项x1x2的系数决定以此类推 标准型: 解释说明 标准型就是去掉了混合项二次型矩阵A变成了对角矩阵 注意:一个二次型的标准型并不唯一在选择题中我们求出的标准型和答案给出的标准型不一定一样但是正负项数肯定一样即规范型一样。 规范型: 规范型就是在标准型的基础上平方项的次数是1或-1或0 规范型能确定什么 不同的标准型能被化成相同的规范型的形式。 所以说规范型能确定的东西有限我们只能通过规范型得到正负系数正负惯性指数 正惯性指数 负惯性指数: 解释说明 正惯性指数就是标准型中平方项系数为正数的个数 负惯性指数就是标准型中平方项系数为负数的个数 正惯性指数 负惯性指数是对标准型而言的只有处理成标准型才能看见正负惯性指数 二次型的秩:
二次型的秩就是二次型矩阵A的秩 r(f)r(A)
1.2 坐标变换 坐标变换其实我们可以理解为换元在高等数学的学习中我们经常利用换元法将复杂的式子通过换元来变成简单的式子在二次型中也同样如此 xCy的形式换元重要的是C矩阵 |C|≠0 1.3 合同
如CTACBC可逆称矩阵A和B合同
合同的性质
A合同于AA合同于B则B合同于A合同具有传递性A合同于BB合同于CA合同于C
二次型与正交变换与合同之间的联系 补充:通过坐标变换可以得到A合同于一个对角矩阵
1.4 正交变换化为标准型 核心通过求二次型矩阵A的特征值就可得出二次型的标准型。通过求二次型矩阵A的特征向量得到坐标变换xQy其中Q是由A的特征向量经过施密特正交化组成的。 二次型化标准型就转变成了求特征值求特征向量的问题。
2.二次型的主要定理 定理1: 见二次型与正交变换与合同之间的联系的结论 定理2: 任一个二次型XTAX都存在坐标变换xcy化成标准型
3.正定二次型与正定矩阵
n元二次型f(x1,x2…)xTAx,若对任意的x[x1,x2,…,xn]T≠0,均有xTAx0,则称f为正定二次型A为正定矩阵。
正定二次型的充要条件 1.定义法 任意x xTAx0 2.f的正惯性指数pn 3.A的特征值λi均0 4.A的全部顺序主子式均0
正定二次型的必要条件 1.aii0 2.|A|0
在判断是否是正定矩阵的题目中常用充要条件是2-4或必要条件1得出
补充一个小知识:反对称矩阵AT-A
4.重难点题型总结
4.1 配方法将二次型化为标准型 配方法将含有平方项的二次型化为标准型: 一步一步来先配x1再配x2,这样就能防止c0使得坐标变换失败 题目来源:李永乐线代辅导讲义 例 6.4 配方法将不含有平方项的二次型化为标准型:
题目来源:李永乐线代辅导讲义 例 6.5
4.2 正交变换法将二次型化为标准型
在写出二次型矩阵出过程中非常值得注意的是平方项不用除以2混合项除以2
题目来源:李永乐线代辅导讲义 例 6.6-6.7
4.3 规范型确定取值范围问题 4.4 已知两个二次型f和g求正否能通过正交变换使得f转换为g 思路 相似的传递性 合同的传递性 f相似且合同于一个对角阵g也相似且合同于一个对角阵他俩相似且合同的对角阵是同一个对角阵那么f与g相似且合同所以必有一个正交变换能使得f可以变成g。 综上本质就是f和g有相同的特征值 一些细节xQ1z 得到对角阵yQ 题目来源:李永乐线代辅导讲义 例 6.9
4.5 由已知条件反求二次型f(x1,x2…)的表达式(反求矩阵问题) 思路如下: 求二次型表达式也就是求二次型矩阵A也就是方程组应用那节中的反求矩阵问题反求矩阵问题两大核心利器一是矩阵乘法二是相似 题目来源:李永乐线代辅导讲义 例 6.13
