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回溯法有“通用解题法”之称#xff0c;用它可以系统地搜索问题的所有解。回溯法是一个既带有系统性又带有跳跃性的搜索算法。 在包含问题的所有解的解空间树中#xff0c;按照深度优先搜索(DFS)#xff09;的策略#xff0c;从根结点出发深度探索解空间树。当探索…回溯法
回溯法有“通用解题法”之称用它可以系统地搜索问题的所有解。回溯法是一个既带有系统性又带有跳跃性的搜索算法。 在包含问题的所有解的解空间树中按照深度优先搜索(DFS)的策略从根结点出发深度探索解空间树。当探索到某一结点时要先判断该结点是否包含问题的解如果包含就从该结点出发继续探索下去如果该结点不包含问题的解则逐层向其祖先结点回溯。其实回溯法就是对隐式图的深度优先搜索算法。 若用回溯法求问题的所有解时要回溯到根且根结点的所有可行的子树都要已被搜索遍才结束。 而若使用回溯法求任一个解时只要搜索到问题的一个解就可以结束。 解题步骤
针对所给问题定义问题的解空间确定易于搜索的解空间结构以深度优先方式搜索解空间并在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索
子集树与排列树
下面的两棵解空间树是回溯法解题时常遇到的两类典型的解空间树子集树与排列树
子集树
当所给问题是从n个元素的集合S中找出S满足某种性质的子集时相应的解空间树称为子集树。例如从n个物品的0-1背包问题所相应的解空间树是一棵子集树这类子集树通常有2n{2^n}2n个叶结点其结点总个数为2n1−1{2 ^{n1}- 1}2n1−1。遍历子集树的算法需O(2n{2^n}2n)计算时间 用回溯法搜索子集树的一般算法可描述为
/*** output(x) 记录或输出得到的可行解x* constraint(t) 当前结点的约束函数* bount(t) 当前结点的限界函数* param t t为当前解空间的层数*/
void backtrack(int t){if(t n)output(x);elsefor (int i 0; i 1; i) {x[t] i;if(constraint(t) bount(t))backtrack(t1);}
}排列树
当所给问题是确定n个元素满足某种性质的排列时相应的解空间树称为排列树。例如旅行售货员问题的解空间树是一棵排列树这类排列树通常有n!{n!}n!个叶结点。遍历子集树的算法需O(n!{n!}n!)计算时间 用回溯法搜索排列树的一般算法可描述为
/*** output(x) 记录或输出得到的可行解x* constraint(t) 当前结点的约束函数* bount(t) 当前结点的限界函数* param t t为当前解空间的层数*/
void backtrack(int t){if(t n)output(x);elsefor (int i t; i n; i) {swap(x[t], x[i]);if(constraint(t) bount(t))backtrack(t1);swap(x[t], x[i]);}
}Leetcode真题
电话号码的字母组合 解题思路 经典排列树按节点遍历 private String[] voc new String[]{,*, abc, def, ghi, jkl, mno, pqrs, tuv, wxyz};
ListString res new ArrayList();
public ListString letterCombinations(String digits) {if (digits null || digits.length() 0) {return res;}backtrack(digits, 0, new StringBuffer());return res;
}public void backtrack(String digits, int index, StringBuffer s) {if (index digits.length()) {res.add(s.toString());return;}int i digits.charAt(index) - 0;for (char c : voc[i].toCharArray()) {s.append(c);backtrack(digits, index 1, s);s.deleteCharAt(s.length() - 1);}
}括号生成 解题思路 排列树按节点遍历 回溯结束条件左括号数 右括号数 总数左括号数总数 字符串加入左括号右括号数总数 且 左括号数右括号数字符串加入右括号 ListString res new ArrayList();
public ListString generateParenthesis(int n) {backtrack(n, 0, 0, );return res;
}void backtrack(int n, int l, int r, String str) {if (l n r n) {res.add(str);}if (l n) {backtrack(n, l 1, r, str ();}if (r n l r) {backtrack(n, l, r 1, str ));}
}N皇后 解题思路 子集树按节点遍历 回溯结束条件所有层数放置完毕每列循环遍历当满足非冲突条件时(列主对角线副对角线不冲突) 放置该行的皇后执行下一级回溯 两点位于同一对角线时行列值相加/相减的值相等 ListListString res new ArrayList();
public ListListString solveNQueens(int n) {if (n 0) {return res;}backtrack(0, n, new int[n]);return res;
}/*** output(x) 记录或输出得到的可行解x* constraint(t) 当前结点的约束函数** param t t为当前解空间的层数* param n 总层数* param queens 结果集下标为行号值为列号*/
void backtrack(int t, int n, int[] queens) {if (t n) {output(res, n, queens);return;} else {for (int j 0; j n; j) {if (constraint(t, j, n, queens)) {queens[t] j;backtrack(t 1, n, queens);}}}
}/*** 检查是否存在冲突(列主对角线副对角线)* 两点位于同一对角线时行列值相加/相减的值相等*/
boolean constraint(int t, int j, int n, int[] queens) {for (int i 0; i t; i) {if (queens[i] j || i - queens[i] t - j || i queens[i] t j) {return false;}}return true;
}void output(ListListString res, int n, int[] queens) {ListString list new ArrayList();for (int i 0; i n; i) {char[] chars new char[n];Arrays.fill(chars, .);chars[queens[i]] Q;list.add(new String(chars));}res.add(list);
}参考资料
回溯法的解题步骤与例子解析leetcode深度优先搜索
