什么是移动网站开发,免费网站开发框架,职高网站建设例题,店铺装修设计网为什么曲面函数的偏导数可以表示其曲面的法向量#xff1f;
引用资料#xff1a; 1.知乎shinbade#xff1a;曲面的三个偏导数为什么能表示法向量#xff1f; 2.Geogebra羅驥韡 (Pegasus Roe)#xff1a;偏導數、切平面、梯度
曲面 F ( x , y , z ) 0 F(x,y,z)0 F(x,y,…为什么曲面函数的偏导数可以表示其曲面的法向量
引用资料 1.知乎shinbade曲面的三个偏导数为什么能表示法向量 2.Geogebra羅驥韡 (Pegasus Roe)偏導數、切平面、梯度
曲面 F ( x , y , z ) 0 F(x,y,z)0 F(x,y,z)0曲面上一点A ( x , y , z ) (x,y,z) (x,y,z)在该点附近取另一点B ( x Δ x , y Δ y , z Δ z ) (x\Delta x,y\Delta y,z\Delta z) (xΔx,yΔy,zΔz)由于点B也在曲面上故 F ( x Δ x , y Δ y , z Δ z ) 0 F(x\Delta x,y\Delta y,z\Delta z)0 F(xΔx,yΔy,zΔz)0 将上式进行一阶泰勒展开一阶展开目的是用切平面上的点近似曲面上的点 F ( x Δ x , y Δ y , z Δ z ) F ( x , y , z ) F x ′ Δ x F y ′ Δ y F z ′ Δ z 0 ∵ F ( x , y , z ) 0 ∴ F x ′ Δ x F y ′ Δ y F z ′ Δ z 0 ( F x ′ , F y ′ , F z ′ ) ⋅ ( Δ x , Δ y , Δ z ) 0 F(x\Delta x,y\Delta y,z\Delta z)F(x,y,z)F_x\Delta xF_y\Delta yF_z\Delta z0\\ ~\\ \because F(x,y,z)0\\ ~\\ \therefore F_x\Delta xF_y\Delta yF_z\Delta z0\\ ~\\ (F_x,F_y,F_z)\cdot(\Delta x,\Delta y,\Delta z)0 F(xΔx,yΔy,zΔz)F(x,y,z)Fx′ΔxFy′ΔyFz′Δz0 ∵F(x,y,z)0 ∴Fx′ΔxFy′ΔyFz′Δz0 (Fx′,Fy′,Fz′)⋅(Δx,Δy,Δz)0 向量 ( Δ x , Δ y , Δ z ) (\Delta x,\Delta y,\Delta z) (Δx,Δy,Δz)与向量 ( F x ′ , F y ′ , F z ′ ) (F_x,F_y,F_z) (Fx′,Fy′,Fz′)内积为0说明两向量垂直又由于向量 ( Δ x , Δ y , Δ z ) (\Delta x,\Delta y,\Delta z) (Δx,Δy,Δz)在切平面上严格来说是割平面因为还没有取极限故向量 ( F x ′ , F y ′ , F z ′ ) (F_x,F_y,F_z) (Fx′,Fy′,Fz′)垂直于切平面也就可以用其来表示曲面的法向量。 备注切平面上点代替曲面上点以直代曲这个方面的理解详见本人博客如何理解二元函数的可导与可微 由于在极限过程中切平面上点无限接近曲面上的点所以近似将向量 ( Δ x , Δ y , Δ z ) (\Delta x,\Delta y,\Delta z) (Δx,Δy,Δz)看作在切片面上。
