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解题思路1
看到这个题目我们的第一反应是顺序扫描整个数组。每扫描到一个数组的时候逐个比较该数字和它后面的数字的大小。如果后面的数字比它小则这两个数字就组成了一个逆序对。假设数组中含有n个数字。由于每个数字都要和O(n)这个数字比较因此这个算法的时间复杂度为O(n^2)。
我们以数组{7,5,6,4}为例来分析统计逆序对的过程。每次扫描到一个数字的时候我们不拿ta和后面的每一个数字作比较否则时间复杂度就是O(n^2)因此我们可以考虑先比较两个相邻的数字。 (a) 把长度为4的数组分解成两个长度为2的子数组
(b) 把长度为2的数组分解成两个成都为1的子数组
(c) 把长度为1的子数组 合并、排序并统计逆序对
(d) 把长度为2的子数组合并、排序并统计逆序对
在上图a和b中我们先把数组分解成两个长度为2的子数组再把这两个子数组分别拆成两个长度为1的子数组。接下来一边合并相邻的子数组一边统计逆序对的数目。在第一对长度为1的子数组{7}、{5}中7大于5因此7,5组成一个逆序对。同样在第二对长度为1的子数组{6}、{4}中也有逆序对6,4。由于我们已经统计了这两对子数组内部的逆序对因此需要把这两对子数组 排序 如上图c所示 以免在以后的统计过程中再重复统计。
接下来我们统计两个长度为2的子数组子数组之间的逆序对。合并子数组并统计逆序对的过程如下图如下图所示。
我们先用两个指针分别指向两个子数组的末尾并每次比较两个指针指向的数字。如果第一个子数组中的数字大于第二个数组中的数字则构成逆序对并且逆序对的数目等于第二个子数组中剩余数字的个数如下图a和c所示。如果第一个数组的数字小于或等于第二个数组中的数字则不构成逆序对如图b所示。每一次比较的时候我们都把较大的数字从后面往前复制到一个辅助数组中确保 辅助数组记为copy 中的数字是递增排序的。在把较大的数字复制到辅助数组之后把对应的指针向前移动一位接下来进行下一轮比较。 过程先把数组分割成子数组先统计出子数组内部的逆序对的数目然后再统计出两个相邻子数组之间的逆序对的数目。在统计逆序对的过程中还需要对数组进行排序。如果对排序算法很熟悉我们不难发现这个过程实际上就是归并排序。
public class Solution {public int InversePairs(int [] array) {if(array null || array.length 0){return 0;}//和array长度一样的copy数组int[] copy new int[array.length];int count inversePairsCore(array, copy, 0, array.length - 1);return count;}public int inversePairsCore(int[] array, int[] copy, int low, int high){if(low high){return 0;}//计算中间下标int mid (low high)1;//中间下标int i mid;//最大下标int j high;//copy数组的最大下标int indexCopy high;//获得左边数组的逆序对int leftCount inversePairsCore(array, copy, low, mid)%1000000007;//获得右边数组的逆序对int rightCount inversePairsCore(array, copy, mid 1, high)%1000000007;int count 0;while(i low j mid){if(array[i] array[j]){//计算逆序对count j - mid;//左边数组向左移动一位并将值存入copy中copy[indexCopy]array[i--];if(count 1000000007){count%1000000007;}}else{//右边数组向左移动一位并将值存入copy中copy[indexCopy]array[j--];}indexCopy--;}//左边剩余数组存入到copy中for(; i low; i--){copy[indexCopy--] array[i];}//右边剩余数组存入到copy中for(; j mid; j--){copy[indexCopy--] array[j];}//将排过序的数组在array中同步for(int s low; s high; s){array[s] copy[s];}return (leftCount rightCount count)%1000000007;}
}
