杭州网站推广营销,公司网站策划,四川网站建设外包业务,阿里云做网站一般地#xff0c;函数 y f ( x ) y f(x) yf(x) 的导数 y ′ f ′ ( x ) y\ f\ (x) y ′f ′(x) 仍然是 x x x 的函数。我们把 y ′ f ′ ( x ) y\ f\ (x) y ′f ′(x) 的导数叫做函数 y f ( x ) y f(x) yf(x) 的二阶导数#xff0c;记作 y ′ ′ y\ y ′…一般地函数 y f ( x ) y f(x) yf(x) 的导数 y ′ f ′ ( x ) y\ f\ (x) y ′f ′(x) 仍然是 x x x 的函数。我们把 y ′ f ′ ( x ) y\ f\ (x) y ′f ′(x) 的导数叫做函数 y f ( x ) y f(x) yf(x) 的二阶导数记作 y ′ ′ y\ y ′′ 或 d 2 y d x 2 \cfrac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2} dx2d2y 即 y ′ ′ ( y ′ ) ′ 或 d 2 y d x 2 d d x ( d x d y ) y (y) \quad 或 \quad \cfrac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2} \cfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left( \cfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y} \right) y′′(y′)′或dx2d2ydxd(dydx) 相应地把 y f ( x ) y f(x) yf(x) 的导数 f ′ ( x ) f(x) f′(x) 叫做函数 y f ( x ) y f(x) yf(x) 的一阶导数。
类似的二阶导数的导数叫做三阶导数三阶导数的导数叫做四阶导数 ⋯ ⋯ \cdots \cdots ⋯⋯ 一般地 ( n − 1 ) (n - 1) (n−1) 阶导数的导数叫做 n n n 阶导数分别记作 y ′ ′ ′ , y ( 4 ) , ⋯ , y ( n ) y, y^{(4)}, \cdots , y^{(n)} y′′′,y(4),⋯,y(n) 或 d 3 y d x 3 , d 4 y d x 4 , ⋯ , d n y d x n . \cfrac{\mathrm{d}^3y}{\mathrm{d}x^3}, \cfrac{\mathrm{d}^4y}{\mathrm{d}x^4}, \cdots , \cfrac{\mathrm{d}^ny}{\mathrm{d}x^n} . dx3d3y,dx4d4y,⋯,dxndny.
函数 y f ( x ) y f(x) yf(x) 具有 n n n 阶导数也常说成函数 y f ( x ) y f(x) yf(x) 为 n n n 阶可导。如果函数 y f ( x ) y f(x) yf(x) 在点 x x x 处具有 n n n 阶导数那么 y f ( x ) y f(x) yf(x) 在点 x x x 的某一去心邻域内必定具有一切低于 n n n 阶的导数。二阶及二阶以上的导数统称高阶导数。
例 求正弦函数与余弦函数的 n n n 阶导数。 解 y sin x , y ′ cos x sin ( x π 2 ) , y ′ ′ cos ( x π 2 ) sin ( x π 2 π 2 ) sin ( x 2 ⋅ π 2 ) , y ′ ′ ′ cos ( x 2 ⋅ π 2 ) sin ( x 3 ⋅ π 2 ) , y ( 4 ) cos ( x 3 ⋅ π 2 ) sin ( x 4 ⋅ π 2 ) , \begin{align*} y \sin x, \\ y \cos x \sin{\left( x \cfrac{\pi}{2} \right)} , \\ y \cos{\left( x \cfrac{\pi}{2} \right)} \sin{\left( x \cfrac{\pi}{2} \cfrac{\pi}{2} \right)} \sin{\left( x 2 \cdot \cfrac{\pi}{2} \right)}, \\ y \cos{\left( x 2 \cdot \cfrac{\pi}{2} \right)} \sin{\left( x 3 \cdot \cfrac{\pi}{2} \right)}, \\ y^{(4)} \cos{\left( x 3 \cdot \cfrac{\pi}{2} \right)} \sin{\left( x 4 \cdot \cfrac{\pi}{2} \right)}, \end{align*} yy′y′′y′′′y(4)sinx,cosxsin(x2π),cos(x2π)sin(x2π2π)sin(x2⋅2π),cos(x2⋅2π)sin(x3⋅2π),cos(x3⋅2π)sin(x4⋅2π), 一般地可得 y ( n ) sin ( x n ⋅ π 2 ) , y^{(n)} \sin{\left( x n \cdot \cfrac{\pi}{2} \right)} , y(n)sin(xn⋅2π), 即 ( sin x ) ( n ) sin ( x n ⋅ π 2 ) (\sin x)^{(n)} \sin{\left( x n \cdot \cfrac{\pi}{2} \right)} (sinx)(n)sin(xn⋅2π) 用类似方法可得 ( cos x ) ( n ) cos ( x n ⋅ π 2 ) (\cos x)^{(n)} \cos{\left( x n \cdot \cfrac{\pi}{2} \right)} (cosx)(n)cos(xn⋅2π)
例 求函数 y ln ( 1 x ) y \ln{(1 x)} yln(1x) 的 n n n 阶导数。 解 y ′ 1 1 x y \cfrac{1}{1 x} y′1x1 , y ′ ′ − 1 ( 1 x ) 2 y - \cfrac{1}{(1 x)^2} y′′−(1x)21 , y ′ ′ ′ 1 ⋅ 2 ( 1 x ) 3 y \cfrac{1 \cdot 2}{(1 x)^3} y′′′(1x)31⋅2 , y ( 4 ) − 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ( 1 x ) 4 y^{(4)} - \cfrac{1 \cdot 2 \cdot 3}{(1 x)^4} y(4)−(1x)41⋅2⋅3 , 一般地可得 y ( n ) ( − 1 ) n − 1 ( n − 1 ) ! ( 1 x ) n , y^{(n)} (-1)^{n - 1} \cfrac{(n - 1)!}{(1 x)^n} , y(n)(−1)n−1(1x)n(n−1)!, 即 [ ln ( 1 x ) ] ( n ) ( − 1 ) n − 1 ( n − 1 ) ! ( 1 x ) n [\ln{(1 x)}]^{(n)} (-1)^{n - 1} \cfrac{(n - 1)!}{(1 x)^n} [ln(1x)](n)(−1)n−1(1x)n(n−1)! 通常规定 0 ! 1 0! 1 0!1 所以这个公式当 n 1 n 1 n1 时也成立。
例 求幂函数的 n n n 阶导数公式。 解设 y x μ ( μ 是任意常数 ) y x^{\mu} (\mu 是任意常数) yxμ(μ是任意常数) 那么 y ′ μ x μ − 1 , y ′ ′ μ ( μ − 1 ) x μ − 2 , y ′ ′ ′ μ ( μ − 1 ) ( μ − 2 ) x μ − 3 , y ( 4 ) μ ( μ − 1 ) ( μ − 2 ) ( μ − 3 ) x μ − 4 , \begin{align*} y \mu x^{\mu - 1} , \\ y \mu (\mu - 1) x^{\mu - 2} , \\ y \mu (\mu - 1) (\mu - 2) x^{\mu - 3} , \\ y^{(4)} \mu (\mu - 1) (\mu - 2) (\mu - 3) x^{\mu - 4} , \end{align*} y′y′′y′′′y(4)μxμ−1,μ(μ−1)xμ−2,μ(μ−1)(μ−2)xμ−3,μ(μ−1)(μ−2)(μ−3)xμ−4, 一般地可得 y ( n ) μ ( μ − 1 ) ( μ − 2 ) ⋯ ( μ − n 1 ) x μ − n , y^{(n)} \mu (\mu - 1) (\mu - 2) \cdots (\mu - n 1) x^{\mu - n} , y(n)μ(μ−1)(μ−2)⋯(μ−n1)xμ−n, 即 ( x μ ) ( n ) μ ( μ − 1 ) ( μ − 2 ) ⋯ ( μ − n 1 ) x μ − n . (x^{\mu})^{(n)} \mu (\mu - 1) (\mu - 2) \cdots (\mu - n 1) x^{\mu - n} . (xμ)(n)μ(μ−1)(μ−2)⋯(μ−n1)xμ−n. 当 μ n \mu n μn 时得到 ( x n ) ( n ) n ( n − 1 ) ( n − 2 ) ⋅ ⋯ ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 n ! , (x^{n})^{(n)} n (n - 1) (n - 2) \cdot \ \cdots \ \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 n! , (xn)(n)n(n−1)(n−2)⋅ ⋯ ⋅3⋅2⋅1n!, 而 ( x n ) ( n k ) 0 ( k 1 , 2 , ⋯ ) . (x^n)^{(n k)} 0 \quad (k 1, 2, \cdots). (xn)(nk)0(k1,2,⋯).
如果函数 u u ( x ) u u(x) uu(x) 及 v v ( x ) v v(x) vv(x) 都在点 x x x 处具有 n n n 阶导数那么显然 u ( x ) ± v ( x ) u(x) \pm v(x) u(x)±v(x) 也在点 x x x 处具有 n n n 阶导数且 ( u ± v ) ( n ) u ( n ) ± v ( n ) . (u \pm v)^{(n)} u^{(n)} \pm v^{(n)} . (u±v)(n)u(n)±v(n). 但乘积 u ( x ) v ( x ) u(x) v(x) u(x)v(x) 的 n n n 阶导数不简单。由 ( u v ) ′ u ′ v u v ′ (uv) u v u v (uv)′u′vuv′ 首先得出 ( u v ) ′ ′ u ′ ′ v 2 u ′ v ′ u v ′ ′ , ( u v ) ′ ′ ′ u ′ ′ ′ v 3 u ′ ′ v ′ 3 u ′ v ′ ′ u v ′ ′ ′ . \begin{align*} (uv) u v 2 u v u v , \\ (uv) u v 3 u v 3 u v u v . \end{align*} (uv)′′(uv)′′′u′′v2u′v′uv′′,u′′′v3u′′v′3u′v′′uv′′′. 用数学归纳法可以证明 ( u v ) ( n ) u ( n ) v n u ( n − 1 ) v ′ n ( n − 1 ) 2 ! u ( n − 2 ) v ′ ′ ⋯ n ( n − 1 ) ⋯ ( n − k 1 ) k ! u ( n − k ) v ( k ) ⋯ u v ( n ) . (uv)^{(n)} u^{(n)} v n u^{(n - 1)} v \cfrac{n (n - 1)}{2!} u^{(n - 2)} v \cdots \cfrac{n (n - 1) \cdots (n - k 1)}{k!} u^{(n - k)} v^{(k)} \cdots u v^{(n)} . (uv)(n)u(n)vnu(n−1)v′2!n(n−1)u(n−2)v′′⋯k!n(n−1)⋯(n−k1)u(n−k)v(k)⋯uv(n). 上式称为莱布尼茨Leibniz公式。按二项式定理展开写成 ( u v ) n u n v 0 n u n − 1 v 1 n ( n − 1 ) 2 ! u n − 2 v 2 ⋯ u 0 v n , (u v)^n u^n v^0 n u^{n - 1} v^1 \cfrac{n (n - 1)}{2!} u^{n -2} v^2 \cdots u^0 v^n , (uv)nunv0nun−1v12!n(n−1)un−2v2⋯u0vn, 即 ( u v ) n ∑ k 0 n C n k u n − k v k , (u v)^n \sum_{k 0}^{n} C_n^k u^{n - k} v^k , (uv)nk0∑nCnkun−kvk, 把 k k k 次幂换成 k k k 阶导数零阶导数理解为函数本身再把左端的 u v u v uv 换成 u v uv uv 这样就得到 ( u v ) n ∑ k 0 n C n k u ( n − k ) v ( k ) . (u v)^n \sum_{k 0}^{n} C_n^k u^{(n - k)} v^{(k)} . (uv)nk0∑nCnku(n−k)v(k).
例 设 y x 2 e 2 x y x^2 \mathrm{e}^{2x} yx2e2x 求 y ( 20 ) y^{(20)} y(20) 。 解设 u e 2 x u \mathrm{e}^{2x} ue2x v x 2 v x^2 vx2 则 u ( k ) 2 k e 2 x ( k 1 , 2 , ⋯ , 20 ) , v ′ 2 x , v ′ ′ 2 , v ( k ) 0 ( k 3 , 4 , ⋯ , 20 ) , u^{(k)} 2^k \mathrm{e}^{2x} \quad (k 1, 2, \cdots , 20) , \\ v 2x, \quad v 2, \quad v^{(k)} 0 \quad (k 3, 4, \cdots , 20) , u(k)2ke2x(k1,2,⋯,20),v′2x,v′′2,v(k)0(k3,4,⋯,20), 代入莱布尼茨公式得 y ( 20 ) ( x 2 e 2 x ) ( 20 ) 2 20 e 2 x ⋅ x 2 20 ⋅ 2 19 e 2 x ⋅ 2 x 20 ⋅ 19 2 ! 2 18 e 2 x ⋅ 2 2 20 e 2 x ( x 2 20 x 95 ) \begin{align*} y^{(20)} (x^2 \mathrm{e}^{2x})^{(20)} \\ 2^{20} \mathrm{e}^{2x} \cdot x^2 20 \cdot 2^{19} \mathrm{e}^{2x} \cdot 2x \cfrac{20 \cdot 19}{2!} 2^{18} \mathrm{e}^{2x} \cdot 2 \\ 2^{20} \mathrm{e}^{2x} (x^2 20x 95) \end{align*} y(20)(x2e2x)(20)220e2x⋅x220⋅219e2x⋅2x2!20⋅19218e2x⋅2220e2x(x220x95)
原文链接高等数学 2.3 高阶导数
