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对于矩阵 A对齐做 SVD 分解即 U Σ V s v d ( A ) U\Sigma V svd(A) UΣVsvd(A). 其中 U 为 A A T AA^T AAT的特征向量V 为 A T A A^TA ATA的特征向量。 Σ \Sigma Σ 的对角元素为降序排序的特征值。显然U、V矩阵中的列向量相互正交所以也可以视 V 为svd分解给出了A的列向量空间的正交基其中最大奇异值或特征值对应的特征向量捕捉了数据变化的最大方向。
求满足 Ax0 的 x
显然该问题等价于 x T A T A x 0 x^TA^TAx 0 xTATAx0. 此问题有非零解 A不满秩 行列式为0 A T A A^TA ATA 的特征值至少有一个为0.
考虑 A A A的秩的为 k-1, 那么 A T A A^TA ATA 的特征值有一个为0。所以svd分解后V矩阵的最后一列 x ∗ x^* x∗ 就是特征值为 0 所对应的特征向量即 A T A x ∗ 0 ∗ x ∗ 0 A^TA x^* 0 * x^* 0 ATAx∗0∗x∗0. 对于超定方程极有可能不存在解析解但存在最小二乘解满足 ∥ A x ∥ 2 \Vert Ax \Vert_2 ∥Ax∥2 最小即最小的特征值所对应的特征向量。常见的这类问题如已知一些三维空间中大致落在二维平面上的点用n*3的矩阵P描述求这个平面的法向量 n。考虑 A A A的秩的为 k-2那么那么 A T A A^TA ATA 的特征值有两个为0。 例如已知一些落在直线上的三维点用n*3的矩阵描述这些点求这条线的方向n。那么显然就是求满足 m a x x ∥ A x ∥ 2 max_x \Vert Ax \Vert_2 maxx∥Ax∥2的最小二乘解也就是最大的特征值对应的特征向量。另外两个为0的特征值所对应的特征向量反应了在垂直直线方向的趋势或者说向量投影到垂直直线方向(法平面)的投影。 另一个例子存在一个bearing vector由于bearing vector的模长固定为1因此只能在球面上移动其自由度为2。为了描述bearing vector的误差所以采用bearing vector在其切平面的投影作为量化方式。那么对 bearing vectord的转置做SVD分解则两个为0的奇异值对应的特征向量就是切平面的基。
求解Ax b的x
此问题等价于求 A x − b 0 Ax - b 0 Ax−b0。
当 r a n k ( A ∣ b ) r a n k ( A ) k rank(A|b) rank(A) k rank(A∣b)rank(A)k, 有特解通解多个解当 r a n k ( A ∣ b ) r a n k ( A ) k rank(A|b) rank(A) k rank(A∣b)rank(A)k, 有唯一解当 r a n k ( A ∣ b ) r a n k ( A ) rank(A|b) rank(A) rank(A∣b)rank(A), 无解
求解线性方程组 ( Ax b ) 的方法有多种具体选择取决于矩阵 ( A ) 的特性例如是否是方阵、是否是稀疏矩阵、是否满秩等。以下是常见的几种方法
1. 直接求解法
适用于方阵 ( A ) 为非奇异矩阵的情况即 ( A ) 可逆。
1.1 矩阵逆法
如果 ( A ) 是方阵且非奇异满秩我们可以通过矩阵的逆求解 x A − 1 b x A^{-1} b xA−1b优点理论上适用于所有满秩方阵。缺点计算逆矩阵代价较高尤其是对于大规模矩阵数值不稳定性也可能导致精度问题。
1.2 高斯消去法
高斯消去法是一种通过初等行变换将 ( A ) 化为上三角矩阵然后使用回代法求解 ( x ) 的方法。步骤 将 ( A ) 化为上三角矩阵消元过程。从最后一个方程开始回代求解各个未知数。 优点适合解决大部分线性方程组问题。缺点在稀疏矩阵或病态矩阵情况下可能表现不好。
1.3 LU 分解
将 ( A ) 分解为两个矩阵 ( L )下三角矩阵和 ( U )上三角矩阵使得 ( A LU )。分两步解决 求解 ( Ly b )前向替换。求解 ( Ux y )回代。 优点可以高效地处理多次相同矩阵 ( A ) 但不同向量 ( b ) 的情况。缺点不适合奇异或病态矩阵。
2. 迭代求解法
适合大规模、稀疏矩阵特别是在矩阵 ( A ) 具有特殊结构例如稀疏或对称正定的情况下。
2.1 Jacobi 方法
假设矩阵 ( A ) 可以分解为对角矩阵 ( D ) 和严格三角矩阵 ( L U )即 ( A D (L U) )。通过迭代更新 x ( k 1 ) D − 1 ( b − ( L U ) x ( k ) ) x^{(k1)} D^{-1}(b - (LU)x^{(k)}) x(k1)D−1(b−(LU)x(k))优点实现简单适合并行计算。缺点收敛速度较慢且不适用于所有矩阵尤其是条件数较大的矩阵。
2.2 Gauss-Seidel 方法
类似于 Jacobi 方法但在每次更新时使用新的值 x i ( k 1 ) 1 A i i ( b i − ∑ j 1 i − 1 A i j x j ( k 1 ) − ∑ j i 1 n A i j x j ( k ) ) x_i^{(k1)} \frac{1}{A_{ii}} \left( b_i - \sum_{j1}^{i-1} A_{ij} x_j^{(k1)} - \sum_{ji1}^{n} A_{ij} x_j^{(k)} \right) xi(k1)Aii1(bi−j1∑i−1Aijxj(k1)−ji1∑nAijxj(k))优点比 Jacobi 方法收敛快。缺点仍可能在某些条件下收敛缓慢。
2.3 共轭梯度法
适用于对称正定矩阵。该方法是一种梯度下降的改进形式通过寻找共轭方向来加速收敛。步骤 初始化 ( x_0 )。迭代更新 x k 1 x k α k p k x_{k1} x_k \alpha_k p_k xk1xkαkpk 其中 ( p_k ) 是共轭方向( \alpha_k ) 是步长。 优点对大规模、稀疏、对称正定矩阵非常高效。缺点只适用于对称正定矩阵且需要合适的预条件来保证收敛性。
3. 奇异值分解 (SVD)
适用于任意矩阵 ( A )包括矩阵不满秩或奇异的情况。
奇异值分解将 ( A ) 分解为 ( A U \Sigma V^T )其中 ( U ) 和 ( V ) 是正交矩阵( \Sigma ) 是对角矩阵包含矩阵的奇异值。求解过程为 x V Σ − 1 U T b x V \Sigma^{-1} U^T b xVΣ−1UTb优点SVD 能处理任何矩阵包括奇异矩阵和非方阵是最为稳定的求解方法之一。缺点计算复杂度高不适合大规模问题。
4. QR 分解
QR 分解将矩阵 ( A ) 分解为正交矩阵 ( Q ) 和上三角矩阵 ( R )即 ( A QR )。求解步骤 将方程变为 ( QRx b )。左乘 ( Q^T )得到 ( Rx Q^T b )。用回代法求解上三角矩阵 ( R ) 的方程。 优点稳定性好特别适用于不满秩的矩阵。缺点比高斯消去法稍微复杂计算量略大。
5. 伪逆法Moore-Penrose 逆
适用于矩阵 ( A ) 不为方阵或不满秩的情况。
如果 ( A ) 是不方的或者不满秩我们可以通过伪逆矩阵 ( A^ ) 求解 x A b x A^ b xAb 其中 ( A^ ) 是 ( A ) 的 Moore-Penrose 伪逆。优点适用于任何矩阵包括矩阵不满秩、奇异的情况能找到最小范数解。缺点计算伪逆较复杂尤其是对于大规模矩阵。
总结
对于方阵且 ( A ) 可逆常用 高斯消去法 或 LU 分解。对于大规模稀疏矩阵或需要迭代求解时Jacobi 方法、Gauss-Seidel 方法 和 共轭梯度法 适用。对于奇异或不满秩的矩阵SVD 或 伪逆法 能保证稳定的解。QR 分解 和 高斯消去法 常用于数值稳定性要求较高的情境。
